1. Problema: Dados los polinomios $$A(x) = 12x^6 + 6x^4 + 3x + 2$$ $$B(x) = 4x^6 - 4x^4 + 2$$ $$C(x) = 4x^4 - 5x^3 + x - 1$$ Realizar las operaciones indicadas y divisiones sintéticas. --- ### Parte 1: Operaciones tradicionales **a) Suma $A(x) + B(x) + C(x)$** 2. Sumamos los términos semejantes: $$12x^6 + 4x^6 + 0 = 16x^6$$ $$6x^4 - 4x^4 + 4x^4 = 6x^4$$ $$0 - 0 - 5x^3 = -5x^3$$ $$3x + 0 + x = 4x$$ $$2 + 2 - 1 = 3$$ Resultado: $$16x^6 + 6x^4 - 5x^3 + 4x + 3$$ **b) Resta $A(x) - B(x)$** 3. Restamos término a término: $$12x^6 - 4x^6 = 8x^6$$ $$6x^4 - (-4x^4) = 6x^4 + 4x^4 = 10x^4$$ $$3x - 0 = 3x$$ $$2 - 2 = 0$$ Resultado: $$8x^6 + 10x^4 + 3x$$ **c) Suma $B(x) + A(x)$** 4. Es conmutativa, igual que a): $$4x^6 + 12x^6 = 16x^6$$ $$-4x^4 + 6x^4 = 2x^4$$ $$0 + 3x = 3x$$ $$2 + 2 = 4$$ Resultado: $$16x^6 + 2x^4 + 3x + 4$$ **d) Resta $C(x) - A(x)$** 5. Restamos término a término: $$4x^4 - 12x^6 = -12x^6 + 4x^4$$ (ordenando por grado) $$-5x^3 - 0 = -5x^3$$ $$x - 3x = -2x$$ $$-1 - 2 = -3$$ Resultado: $$-12x^6 + 4x^4 - 5x^3 - 2x - 3$$ --- ### Parte 2: División sintética **Regla:** Para dividir un polinomio $P(x)$ entre $x - r$, se usa división sintética con $r$. **a) Dividir $A(x)$ entre $x - 1$** 6. Coeficientes de $A(x)$ (orden descendente, con ceros para grados faltantes): $$[12, 0, 6, 0, 0, 3, 2]$$ 7. Dividimos por $x-1$ (usamos $r=1$): - Bajamos 12 - Multiplicamos 12*1=12, sumamos a 0 = 12 - Multiplicamos 12*1=12, sumamos a 6 = 18 - Multiplicamos 18*1=18, sumamos a 0 = 18 - Multiplicamos 18*1=18, sumamos a 0 = 18 - Multiplicamos 18*1=18, sumamos a 3 = 21 - Multiplicamos 21*1=21, sumamos a 2 = 23 (residuo) Cociente: $$12x^5 + 12x^4 + 18x^3 + 18x^2 + 18x + 21$$ Residuo: 23 **b) Dividir $B(x)$ entre $x - 2$** 8. Coeficientes de $B(x)$: $$[4, 0, -4, 0, 0, 0, 2]$$ 9. Dividimos por $x-2$ ($r=2$): - Bajamos 4 - 4*2=8, sumamos 0=8 - 8*2=16, sumamos -4=12 - 12*2=24, sumamos 0=24 - 24*2=48, sumamos 0=48 - 48*2=96, sumamos 0=96 - 96*2=192, sumamos 2=194 (residuo) Cociente: $$4x^5 + 8x^4 + 12x^3 + 24x^2 + 48x + 96$$ Residuo: 194 **c) Dividir $C(x)$ entre $x - 3$** 10. Coeficientes de $C(x)$: $$[0, 4, -5, 1, -1]$$ (grado 4 a 0) 11. Dividimos por $x-3$ ($r=3$): - Bajamos 0 - 0*3=0, sumamos 4=4 - 4*3=12, sumamos -5=7 - 7*3=21, sumamos 1=22 - 22*3=66, sumamos -1=65 (residuo) Cociente: $$0x^4 + 4x^3 + 7x^2 + 22x + 65$$ Residuo: 65 --- **Respuesta final:** - a) $16x^6 + 6x^4 - 5x^3 + 4x + 3$ - b) $8x^6 + 10x^4 + 3x$ - c) $16x^6 + 2x^4 + 3x + 4$ - d) $-12x^6 + 4x^4 - 5x^3 - 2x - 3$ - División sintética: - $A(x) \div (x-1)$: cociente $12x^5 + 12x^4 + 18x^3 + 18x^2 + 18x + 21$, residuo 23 - $B(x) \div (x-2)$: cociente $4x^5 + 8x^4 + 12x^3 + 24x^2 + 48x + 96$, residuo 194 - $C(x) \div (x-3)$: cociente $4x^3 + 7x^2 + 22x + 65$, residuo 65