1. Planteamos el problema: calcular $A^{2007}$ donde $$A=\begin{pmatrix}2 & 3 \\ -1 & -2\end{pmatrix}$$. 2. Para potencias altas de matrices, es útil buscar patrones o usar diagonalización si es posible. 3. Primero, calculamos $A^2$ para buscar un patrón: $$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ -1 & -2\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}2 & 3 \\ -1 & -2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\times2 + 3\times(-1) & 2\times3 + 3\times(-2) \\ -1\times2 + (-2)\times(-1) & -1\times3 + (-2)\times(-2)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4 - 3 & 6 - 6 \\ -2 + 2 & -3 + 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix} = I$$ 4. Observamos que $A^2 = I$, la matriz identidad. 5. Esto implica que $A^{2007} = A^{2\times 1003 + 1} = (A^2)^{1003} \times A = I^{1003} \times A = A$. 6. Por lo tanto, $$A^{2007} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ -1 & -2\end{pmatrix}$$. Respuesta final: $$A^{2007} = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ -1 & -2\end{pmatrix}$$.