1. **Problema:** Calcula $A^n$ para la matriz $$A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix}$$ 2. **Fórmula y regla:** Para calcular potencias de matrices, si la matriz es triangular o tiene una forma especial, podemos usar propiedades para simplificar. Aquí, $A$ es una matriz triangular inferior con unos en la diagonal. 3. **Cálculo de $A^2$: ** $$A^2 = A \times A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix}$$ 4. **Cálculo de $A^3$: ** $$A^3 = A^2 \times A = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -3 & 1\end{pmatrix}$$ 5. **Patrón:** Observamos que la entrada en la posición (3,2) es $-n$ para $A^n$ y las demás entradas permanecen iguales. 6. **Conclusión:** Por inducción, $$A^n = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -n & 1\end{pmatrix}$$ **Respuesta final:** $$\boxed{A^n = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -n & 1\end{pmatrix}}$$