1. Planteamiento del problema: Expresar como potencia de base 2 las siguientes expresiones: a) $\left(\frac{2 \times 8}{16}\right)^2$ b) $\sqrt{32} \times \left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^6$ 2. Propiedades de potencias usadas: - $a^m \times a^n = a^{m+n}$ - $\left(\frac{a}{b}\right)^m = \frac{a^m}{b^m}$ - $\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}$ 3. Resolución a): - Primero, simplificamos dentro del paréntesis: $2 \times 8 = 16$ Entonces, $\frac{16}{16} = 1$ - Por lo tanto, la expresión es $1^2$ - Como $1 = 2^0$, entonces $1^2 = (2^0)^2 = 2^{0 \times 2} = 2^0$ - Resultado final: $2^0$ 4. Resolución b): - Expresamos cada término como potencia de base 2: $\sqrt{32} = 32^{\frac{1}{2}}$ Sabemos que $32 = 2^5$, entonces: $\sqrt{32} = (2^5)^{\frac{1}{2}} = 2^{5 \times \frac{1}{2}} = 2^{\frac{5}{2}}$ - Para $\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^6$: $\sqrt{6} = 6^{\frac{1}{2}}$ Entonces: $\left(\frac{6^{\frac{1}{2}}}{2}\right)^6 = \frac{(6^{\frac{1}{2}})^6}{2^6} = \frac{6^{3}}{2^6}$ - Ahora expresamos $6^3$ en base 2: $6 = 2 \times 3$, pero 3 no es potencia de 2, así que dejamos $6^3$ como está para combinar después. - Multiplicamos $\sqrt{32}$ por $\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)^6$: $2^{\frac{5}{2}} \times \frac{6^3}{2^6} = \frac{2^{\frac{5}{2}} \times 6^3}{2^6} = 6^3 \times 2^{\frac{5}{2} - 6} = 6^3 \times 2^{-\frac{7}{2}}$ - Como $6^3$ no es potencia de 2, no se puede expresar completamente como potencia de base 2. - Sin embargo, si solo se pide expresar en base 2, dejamos la parte de 2: $2^{-\frac{7}{2}}$ y $6^3$ queda como coeficiente. - Alternativamente, si se permite expresar $6^3$ en base 2 y 3: $6^3 = (2 \times 3)^3 = 2^3 \times 3^3$ Entonces: $6^3 \times 2^{-\frac{7}{2}} = 2^3 \times 3^3 \times 2^{-\frac{7}{2}} = 3^3 \times 2^{3 - \frac{7}{2}} = 3^3 \times 2^{-\frac{1}{2}}$ - Resultado final: $3^3 \times 2^{-\frac{1}{2}}$ - Si solo base 2, la expresión no es una potencia pura de base 2. 5. Resumen: a) $2^0$ b) $3^3 \times 2^{-\frac{1}{2}}$ (no es potencia pura de base 2)