1. El problema consiste en encontrar la forma más simple de las potencias de $i$, donde $i$ es la unidad imaginaria con la propiedad $i^2 = -1$. 2. La fórmula clave para simplificar potencias de $i$ es usar la periodicidad: $$i^n = i^{n \bmod 4}$$ porque las potencias de $i$ se repiten cada 4 ciclos: $$i^0 = 1, \quad i^1 = i, \quad i^2 = -1, \quad i^3 = -i, \quad i^4 = 1, \quad \ldots$$ 3. Para cada potencia, calculamos el residuo de la división del exponente entre 4 y luego usamos la tabla anterior para encontrar el valor simplificado. 4. Resolución: - $i^{24}$: $24 \bmod 4 = 0 \Rightarrow i^{24} = 1$ - $i^{85}$: $85 \bmod 4 = 1 \Rightarrow i^{85} = i$ - $i^{453}$: $453 \bmod 4 = 1 \Rightarrow i^{453} = i$ - $i^{538}$: $538 \bmod 4 = 2 \Rightarrow i^{538} = -1$ - $i^{854}$: $854 \bmod 4 = 2 \Rightarrow i^{854} = -1$ - $i^{345}$: $345 \bmod 4 = 1 \Rightarrow i^{345} = i$ - $i^{590}$: $590 \bmod 4 = 2 \Rightarrow i^{590} = -1$ - $i^{763}$: $763 \bmod 4 = 3 \Rightarrow i^{763} = -i$ - $i^{835}$: $835 \bmod 4 = 3 \Rightarrow i^{835} = -i$ - $i^{520}$: $520 \bmod 4 = 0 \Rightarrow i^{520} = 1$ 5. Por ejemplo, para $i^{85}$: $$85 \div 4 = 21 \text{ con residuo } 1$$ $$i^{85} = i^{\cancel{84} + 1} = i^{84} \cdot i^1 = (i^4)^{21} \cdot i = 1^{21} \cdot i = i$$ 6. Resumen final: $$\begin{aligned} i^{24} &= 1 \\ i^{85} &= i \\ i^{453} &= i \\ i^{538} &= -1 \\ i^{854} &= -1 \\ i^{345} &= i \\ i^{590} &= -1 \\ i^{763} &= -i \\ i^{835} &= -i \\ i^{520} &= 1 \end{aligned}$$