1. **Planteamiento del problema:** Simplificar la expresión $$\frac{(x^3)^5 \cdot (x^2)^7}{(x^{13})^2} = \frac{9^7 \cdot 27^6 \cdot 81^8}{3^{16}}$$ y verificar que la respuesta sea $$S = \sqrt[8]{x}$$. 2. **Simplificación de la parte con $x$:** - Aplicamos la propiedad de potencias: $$(a^m)^n = a^{m \cdot n}$$. - Numerador: $$(x^3)^5 = x^{3 \cdot 5} = x^{15}$$ y $$(x^2)^7 = x^{2 \cdot 7} = x^{14}$$. - Producto en el numerador: $$x^{15} \cdot x^{14} = x^{15+14} = x^{29}$$. - Denominador: $$(x^{13})^2 = x^{13 \cdot 2} = x^{26}$$. 3. **División de potencias con la misma base:** $$\frac{x^{29}}{x^{26}} = x^{29-26} = x^3$$. 4. **Simplificación de la parte numérica:** - Expresamos las bases en potencias de 3: - $$9 = 3^2$$ - $$27 = 3^3$$ - $$81 = 3^4$$ - Reescribimos la expresión: $$\frac{9^7 \cdot 27^6 \cdot 81^8}{3^{16}} = \frac{(3^2)^7 \cdot (3^3)^6 \cdot (3^4)^8}{3^{16}}$$ - Simplificamos los exponentes: $$= \frac{3^{14} \cdot 3^{18} \cdot 3^{32}}{3^{16}}$$ - Sumamos los exponentes del numerador: $$3^{14+18+32} = 3^{64}$$ - Dividimos potencias con la misma base: $$\frac{3^{64}}{3^{16}} = 3^{64-16} = 3^{48}$$. 5. **Expresión total simplificada:** $$x^3 \cdot 3^{48}$$. 6. **Interpretación de la respuesta dada:** La respuesta dada es $$S = \sqrt[8]{x} = x^{\frac{1}{8}}$$. 7. **Conclusión:** La expresión original no es igual a $$x^{\frac{1}{8}}$$ sino a $$x^3 \cdot 3^{48}$$, por lo que la respuesta dada no corresponde a la simplificación correcta de la expresión. **Respuesta final:** $$\boxed{x^3 \cdot 3^{48}}$$