1. Planteamos el problema: calcular $$\left[15^{7} \cdot \left(21^{5}\right)^{2} \cdot (-1)^{2} \cdot 3^{3}\right]^{3}$$. 2. Recordemos las propiedades de las potencias importantes para este problema: - Potencia de un producto: $$\left(a \cdot b\right)^m = a^m \cdot b^m$$. - Potencia de una potencia: $$\left(a^m\right)^n = a^{m \cdot n}$$. - Potencia de un número negativo: $$(-1)^2 = 1$$ porque cualquier número negativo elevado a un exponente par es positivo. 3. Aplicamos la propiedad de potencia de una potencia a $$\left(21^{5}\right)^2$$: $$\left(21^{5}\right)^2 = 21^{5 \cdot 2} = 21^{10}$$. 4. Simplificamos $$(-1)^2$$: $$(-1)^2 = 1$$. 5. Ahora el producto dentro del corchete es: $$15^{7} \cdot 21^{10} \cdot 1 \cdot 3^{3} = 15^{7} \cdot 21^{10} \cdot 3^{3}$$. 6. Elevamos todo el producto a la potencia 3 usando la propiedad de potencia de un producto: $$\left(15^{7} \cdot 21^{10} \cdot 3^{3}\right)^3 = 15^{7 \cdot 3} \cdot 21^{10 \cdot 3} \cdot 3^{3 \cdot 3} = 15^{21} \cdot 21^{30} \cdot 3^{9}$$. 7. Resultado final: $$\boxed{15^{21} \cdot 21^{30} \cdot 3^{9}}$$. Este es el resultado simplificado usando las propiedades de las potencias.