1. Planteamos el problema: Dada la función de producción diaria $P(x) = 4x + 20$, donde $x$ representa una variable relacionada con la producción, y la producción ideal es 60 unidades diarias. 2. Para la parte a), queremos encontrar los valores de $x$ tales que la diferencia absoluta entre $P(x)$ y 60 sea menor que 12, es decir: $$|P(x) - 60| < 12$$ 3. Sustituimos $P(x)$: $$|4x + 20 - 60| < 12$$ Simplificamos dentro del valor absoluto: $$|4x - 40| < 12$$ 4. La desigualdad $|A| < B$ implica que $-B < A < B$, entonces: $$-12 < 4x - 40 < 12$$ 5. Sumamos 40 a cada parte: $$-12 + 40 < 4x < 12 + 40$$ $$28 < 4x < 52$$ 6. Dividimos todo entre 4, mostrando la cancelación: $$\frac{\cancel{4}x}{\cancel{4}}$$ $$7 < x < 13$$ 7. Para la parte b), la desigualdad es: $$|P(x) - 60| \leq 8$$ Sustituimos $P(x)$: $$|4x + 20 - 60| \leq 8$$ Simplificamos: $$|4x - 40| \leq 8$$ 8. Aplicamos la propiedad del valor absoluto: $$-8 \leq 4x - 40 \leq 8$$ 9. Sumamos 40 a cada parte: $$32 \leq 4x \leq 48$$ 10. Dividimos todo entre 4, mostrando la cancelación: $$\frac{\cancel{4}x}{\cancel{4}}$$ $$8 \leq x \leq 12$$ **Respuesta final:** - a) Los valores de $x$ para los cuales $|P(x) - 60| < 12$ son $7 < x < 13$. - b) Los valores de $x$ para los cuales $|P(x) - 60| \leq 8$ son $8 \leq x \leq 12$.