1. Planteamos el problema: calcular el producto de los polinomios $A(x)$ y $C(x)$. 2. Los polinomios dados son: $$A(x) = 5x^5 + 3x^4 - 4x^2 + \frac{x}{2} - 2$$ $$C(x) = 7x - 10x^2 + 10$$ 3. Para multiplicar dos polinomios, usamos la propiedad distributiva: cada término de $A(x)$ se multiplica por cada término de $C(x)$. 4. Multiplicamos término a término: - $5x^5 \cdot 7x = 35x^{6}$ - $5x^5 \cdot (-10x^2) = -50x^{7}$ - $5x^5 \cdot 10 = 50x^{5}$ - $3x^4 \cdot 7x = 21x^{5}$ - $3x^4 \cdot (-10x^2) = -30x^{6}$ - $3x^4 \cdot 10 = 30x^{4}$ - $-4x^2 \cdot 7x = -28x^{3}$ - $-4x^2 \cdot (-10x^2) = 40x^{4}$ - $-4x^2 \cdot 10 = -40x^{2}$ - $\frac{x}{2} \cdot 7x = \frac{7}{2}x^{2}$ - $\frac{x}{2} \cdot (-10x^2) = -5x^{3}$ - $\frac{x}{2} \cdot 10 = 5x$ - $-2 \cdot 7x = -14x$ - $-2 \cdot (-10x^2) = 20x^{2}$ - $-2 \cdot 10 = -20$ 5. Ahora sumamos términos semejantes agrupándolos por potencias de $x$: - $x^{7}$: $-50x^{7}$ - $x^{6}$: $35x^{6} - 30x^{6} = 5x^{6}$ - $x^{5}$: $50x^{5} + 21x^{5} = 71x^{5}$ - $x^{4}$: $30x^{4} + 40x^{4} = 70x^{4}$ - $x^{3}$: $-28x^{3} - 5x^{3} = -33x^{3}$ - $x^{2}$: $-40x^{2} + \frac{7}{2}x^{2} + 20x^{2} = \left(-40 + 3.5 + 20\right)x^{2} = -16.5x^{2}$ - $x$: $5x - 14x = -9x$ - término independiente: $-20$ 6. Resultado final: $$A(x) \cdot C(x) = -50x^{7} + 5x^{6} + 71x^{5} + 70x^{4} - 33x^{3} - 16.5x^{2} - 9x - 20$$ Este es el producto de los polinomios $A(x)$ y $C(x)$.