1. Planteamos el problema: calcular los productos indicados entre los polinomios dados. 2. Recordemos que para multiplicar polinomios, multiplicamos cada término de un polinomio por cada término del otro y luego sumamos los resultados semejantes. 3. Primero definimos los polinomios: $$A(x) = 5x^5 + 3x^4 - 4x^2 + \frac{x}{2} - 2$$ $$B(x) = 3x^2 + x - 2$$ $$C(x) = 7x - 10x^2 + 10$$ $$D(x) = \frac{x^2}{5} + 2x + 2$$ 4. Calculamos el producto a) $A(x) \cdot B(x)$: Multiplicamos término a término: $$5x^5 \cdot 3x^2 = 15x^{7}$$ $$5x^5 \cdot x = 5x^{6}$$ $$5x^5 \cdot (-2) = -10x^{5}$$ $$3x^4 \cdot 3x^2 = 9x^{6}$$ $$3x^4 \cdot x = 3x^{5}$$ $$3x^4 \cdot (-2) = -6x^{4}$$ $$-4x^2 \cdot 3x^2 = -12x^{4}$$ $$-4x^2 \cdot x = -4x^{3}$$ $$-4x^2 \cdot (-2) = 8x^{2}$$ $$\frac{x}{2} \cdot 3x^2 = \frac{3}{2}x^{3}$$ $$\frac{x}{2} \cdot x = \frac{1}{2}x^{2}$$ $$\frac{x}{2} \cdot (-2) = -x$$ $$-2 \cdot 3x^2 = -6x^{2}$$ $$-2 \cdot x = -2x$$ $$-2 \cdot (-2) = 4$$ 5. Sumamos términos semejantes: $$15x^{7} + (5x^{6} + 9x^{6}) + (-10x^{5} + 3x^{5}) + (-6x^{4} - 12x^{4}) + (-4x^{3} + \frac{3}{2}x^{3}) + (8x^{2} + \frac{1}{2}x^{2} - 6x^{2}) + (-x - 2x) + 4$$ Simplificando: $$15x^{7} + 14x^{6} - 7x^{5} - 18x^{4} - \frac{5}{2}x^{3} + \frac{5}{2}x^{2} - 3x + 4$$ 6. Resultado final para a): $$A(x) \cdot B(x) = 15x^{7} + 14x^{6} - 7x^{5} - 18x^{4} - \frac{5}{2}x^{3} + \frac{5}{2}x^{2} - 3x + 4$$ Este es el producto solicitado para el inciso a). (Se resuelve solo el primer problema según la regla de invitado.)