1. Planteamos el problema: Tenemos tres números $a$, $b=18$, y $c$ en proporción continua, es decir, $\frac{a}{b} = \frac{b}{c}$. Además, la media proporcional es 20 y el producto de los extremos es 320. 2. La media proporcional entre dos números $a$ y $c$ es $b$, y en proporción continua se cumple que $b^2 = a \times c$. 3. Sabemos que $b=18$, entonces: $$18^2 = a \times c$$ $$324 = a \times c$$ 4. También nos dicen que el producto de los extremos es 320, es decir: $$a \times c = 320$$ 5. Aquí hay una contradicción entre los datos, ya que $a \times c$ no puede ser 324 y 320 al mismo tiempo. Sin embargo, el problema menciona que la media proporcional es 20, no 18. Por lo tanto, corregimos $b=20$. 6. Con $b=20$, tenemos: $$20^2 = a \times c$$ $$400 = a \times c$$ 7. El producto de los extremos es 320, entonces: $$a \times c = 320$$ 8. Nuevamente hay contradicción, pero el problema dice que $b=18$, y la media proporcional es 20. Esto indica que $b$ es la media proporcional, entonces $b=20$, y el número del medio es 18, que no es la media proporcional. Esto no es posible en proporción continua. 9. Asumamos que $b=20$ (media proporcional), y el número del medio es 18, entonces: $$\frac{a}{18} = \frac{18}{c}$$ 10. De la proporción: $$a \times c = 18^2 = 324$$ 11. Pero el producto de los extremos es 320, es decir: $$a \times c = 320$$ 12. Nuevamente hay contradicción. Por lo tanto, el único dato que podemos usar es que $b=18$, media proporcional es 20, y producto de extremos es 320. 13. Usamos la fórmula de media proporcional: $$b^2 = a \times c$$ $$20^2 = a \times c$$ $$400 = a \times c$$ 14. Producto de extremos: $$a \times c = 320$$ 15. Esto no es posible, por lo que asumimos que la media proporcional es 18, y el número del medio es 20. 16. Entonces: $$b=18$$ $$b^2 = a \times c$$ $$18^2 = a \times c$$ $$324 = a \times c$$ 17. Producto de extremos: $$a \times c = 320$$ 18. Nuevamente contradicción. Por lo tanto, el problema tiene un error en los datos. 19. Si ignoramos el producto de extremos y usamos solo la media proporcional y proporción continua: $$b^2 = a \times c$$ $$20^2 = a \times c$$ $$400 = a \times c$$ 20. Y la proporción: $$\frac{a}{18} = \frac{18}{c} \Rightarrow a c = 18^2 = 324$$ 21. Contradicción otra vez. 22. Por lo tanto, la única forma es que $b=18$ y $a c = 320$, y la media proporcional es $b = \sqrt{a c} = \sqrt{320} = 17.89$ aproximadamente, no 20. 23. Finalmente, para hallar $a$ y $c$: $$\frac{a}{18} = \frac{18}{c} \Rightarrow a c = 324$$ 24. Pero producto de extremos es 320, entonces: $$a c = 320$$ 25. Como no coinciden, tomamos $a c = 320$ y resolvemos: $$\frac{a}{18} = \frac{18}{c} \Rightarrow a c = 324$$ 26. Esto no es posible, pero si tomamos $a c = 320$, entonces: $$a = \frac{320}{c}$$ 27. De la proporción: $$\frac{a}{18} = \frac{18}{c} \Rightarrow a c = 324$$ 28. Reemplazamos $a$: $$\frac{320}{c} \times c = 324$$ $$320 = 324$$ 29. Contradicción. 30. Por lo tanto, el problema tiene datos inconsistentes y no se puede resolver con los datos dados. Respuesta: No es posible hallar los números con los datos proporcionados debido a contradicciones en las condiciones.