1. Resuelve las ecuaciones de proporciones. **a)** Dada la ecuación $$\frac{1}{6} = \frac{x}{5}$$ Usamos la propiedad de las proporciones: $$a/b = c/d \implies ad = bc$$ Multiplicamos cruzado: $$1 \times 5 = 6 \times x$$ $$5 = 6x$$ Dividimos ambos lados entre 6: $$\cancel{6}x = \frac{5}{\cancel{6}}$$ $$x = \frac{5}{6}$$ **b)** Dada la ecuación $$\frac{2}{3} = \frac{9}{x}$$ Multiplicamos cruzado: $$2 \times x = 3 \times 9$$ $$2x = 27$$ Dividimos ambos lados entre 2: $$\cancel{2}x = \frac{27}{\cancel{2}}$$ $$x = \frac{27}{2}$$ **c)** Dada la ecuación $$\frac{x}{3} = \frac{7}{4}$$ Multiplicamos cruzado: $$x \times 4 = 3 \times 7$$ $$4x = 21$$ Dividimos ambos lados entre 4: $$\cancel{4}x = \frac{21}{\cancel{4}}$$ $$x = \frac{21}{4}$$ **d)** Dada la ecuación $$\frac{8}{x} = \frac{12}{10}$$ Multiplicamos cruzado: $$8 \times 10 = 12 \times x$$ $$80 = 12x$$ Dividimos ambos lados entre 12: $$\cancel{12}x = \frac{80}{\cancel{12}}$$ Simplificamos la fracción $$\frac{80}{12} = \frac{20}{3}$$ $$x = \frac{20}{3}$$ 2. En la conferencia, dos de cada cinco personas usan corbata. Hay 90 asistentes. Usamos regla de tres: $$\frac{2}{5} = \frac{x}{90}$$ Multiplicamos cruzado: $$2 \times 90 = 5 \times x$$ $$180 = 5x$$ Dividimos ambos lados entre 5: $$\cancel{5}x = \frac{180}{\cancel{5}}$$ $$x = 36$$ 3. En la encuesta, cuatro de cada cinco personas toman café. Se entrevistaron 80 personas. $$\frac{4}{5} = \frac{x}{80}$$ Multiplicamos cruzado: $$4 \times 80 = 5 \times x$$ $$320 = 5x$$ Dividimos ambos lados entre 5: $$\cancel{5}x = \frac{320}{\cancel{5}}$$ $$x = 64$$ 4. En la plaza, dos de cada cinco personas asisten al cine el fin de semana. De cada 20 personas, ¿cuántas lo hacen? Primero, calculamos cuántas personas de 20 corresponden a la proporción 2/5: $$\frac{2}{5} = \frac{x}{20}$$ Multiplicamos cruzado: $$2 \times 20 = 5 \times x$$ $$40 = 5x$$ Dividimos ambos lados entre 5: $$\cancel{5}x = \frac{40}{\cancel{5}}$$ $$x = 8$$ **Respuestas finales:** a) $$x = \frac{5}{6}$$ b) $$x = \frac{27}{2}$$ c) $$x = \frac{21}{4}$$ d) $$x = \frac{20}{3}$$ 2) 36 personas usan corbata. 3) 64 personas toman café. 4) 8 personas asisten al cine el fin de semana de cada 20.