1. El problema es racionalizar las siguientes expresiones de la forma $\frac{a}{\sqrt{b}}$. 2. La fórmula para racionalizar es multiplicar numerador y denominador por $\sqrt{b}$ para eliminar la raíz del denominador: $$\frac{a}{\sqrt{b}} \times \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \frac{a\sqrt{b}}{b}$$ 3. Aplicamos esta fórmula a cada expresión: 1) $$\frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ 2) $$\frac{10}{\sqrt{8}} = \frac{10\sqrt{8}}{8} = \frac{10\sqrt{4 \times 2}}{8} = \frac{10 \times 2 \sqrt{2}}{8} = \frac{20\sqrt{2}}{8}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por 4: $$\frac{\cancel{20}\sqrt{2}}{\cancel{8}} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$$ 3) $$\frac{7}{\sqrt{4}} = \frac{7}{2}$$ porque $\sqrt{4} = 2$. 4) $$\frac{6}{\sqrt{16}} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$$ porque $\sqrt{16} = 4$. 5) $$\frac{9}{\sqrt{32}} = \frac{9\sqrt{32}}{32} = \frac{9\sqrt{16 \times 2}}{32} = \frac{9 \times 4 \sqrt{2}}{32} = \frac{36\sqrt{2}}{32}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por 4: $$\frac{\cancel{36}\sqrt{2}}{\cancel{32}} = \frac{9\sqrt{2}}{8}$$ 6) $$\frac{4}{\sqrt{64}} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ porque $\sqrt{64} = 8$. 7) $$\frac{12}{\sqrt{8}} = \frac{12\sqrt{8}}{8} = \frac{12 \times 2 \sqrt{2}}{8} = \frac{24\sqrt{2}}{8}$$ Simplificamos dividiendo numerador y denominador por 8: $$\frac{\cancel{24}\sqrt{2}}{\cancel{8}} = 3\sqrt{2}$$ 8) $$\frac{14}{\sqrt{129}} = \frac{14\sqrt{129}}{129}$$ No se puede simplificar más porque 129 no es un cuadrado perfecto. Respuesta final: 1) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 2) $\frac{5\sqrt{2}}{2}$ 3) $\frac{7}{2}$ 4) $\frac{3}{2}$ 5) $\frac{9\sqrt{2}}{8}$ 6) $\frac{1}{2}$ 7) $3\sqrt{2}$ 8) $\frac{14\sqrt{129}}{129}$