1. Problema: Racionalizar la expresión $\frac{3}{\sqrt{2}}$. Fórmula: Para racionalizar $\frac{a}{\sqrt{b}}$, multiplicamos numerador y denominador por $\sqrt{b}$. Cálculo: $$\frac{3}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\cancel{\sqrt{2}}\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$$ 2. Problema: Racionalizar $\frac{10}{\sqrt[6]{8}}$. Fórmula: Para $\frac{a}{\sqrt[n]{b}}$, multiplicamos por $\sqrt[n]{b^{n-1}}$ para eliminar la raíz. Cálculo: $$\frac{10}{\sqrt[6]{8}} \times \frac{\sqrt[6]{8^{5}}}{\sqrt[6]{8^{5}}} = \frac{10\sqrt[6]{8^{5}}}{\cancel{\sqrt[6]{8}}\sqrt[6]{8^{5}}} = 10\sqrt[6]{8^{5}}$$ 3. Problema: Racionalizar $\frac{7}{\sqrt[3]{4}}$. Cálculo: $$\frac{7}{\sqrt[3]{4}} \times \frac{\sqrt[3]{4^{2}}}{\sqrt[3]{4^{2}}} = \frac{7\sqrt[3]{16}}{\cancel{\sqrt[3]{4}}\sqrt[3]{16}} = 7\sqrt[3]{16}$$ 4. Problema: Racionalizar $\frac{6}{\sqrt[5]{16}}$. Cálculo: $$\frac{6}{\sqrt[5]{16}} \times \frac{\sqrt[5]{16^{4}}}{\sqrt[5]{16^{4}}} = \frac{6\sqrt[5]{16^{4}}}{\cancel{\sqrt[5]{16}}\sqrt[5]{16^{4}}} = 6\sqrt[5]{16^{4}}$$ 5. Problema: Racionalizar $\frac{9}{\sqrt[6]{32}}$. Cálculo: $$\frac{9}{\sqrt[6]{32}} \times \frac{\sqrt[6]{32^{5}}}{\sqrt[6]{32^{5}}} = \frac{9\sqrt[6]{32^{5}}}{\cancel{\sqrt[6]{32}}\sqrt[6]{32^{5}}} = 9\sqrt[6]{32^{5}}$$ 6. Problema: Racionalizar $\frac{4}{\sqrt[7]{64}}$. Cálculo: $$\frac{4}{\sqrt[7]{64}} \times \frac{\sqrt[7]{64^{6}}}{\sqrt[7]{64^{6}}} = \frac{4\sqrt[7]{64^{6}}}{\cancel{\sqrt[7]{64}}\sqrt[7]{64^{6}}} = 4\sqrt[7]{64^{6}}$$ 7. Problema: Racionalizar $\frac{12}{\sqrt[8]{8}}$. Cálculo: $$\frac{12}{\sqrt[8]{8}} \times \frac{\sqrt[8]{8^{7}}}{\sqrt[8]{8^{7}}} = \frac{12\sqrt[8]{8^{7}}}{\cancel{\sqrt[8]{8}}\sqrt[8]{8^{7}}} = 12\sqrt[8]{8^{7}}$$ 8. Problema: Racionalizar $\frac{14}{\sqrt[7]{128}}$. Cálculo: $$\frac{14}{\sqrt[7]{128}} \times \frac{\sqrt[7]{128^{6}}}{\sqrt[7]{128^{6}}} = \frac{14\sqrt[7]{128^{6}}}{\cancel{\sqrt[7]{128}}\sqrt[7]{128^{6}}} = 14\sqrt[7]{128^{6}}$$ Respuesta final: 1) $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ 2) $10\sqrt[6]{8^{5}}$ 3) $7\sqrt[3]{16}$ 4) $6\sqrt[5]{16^{4}}$ 5) $9\sqrt[6]{32^{5}}$ 6) $4\sqrt[7]{64^{6}}$ 7) $12\sqrt[8]{8^{7}}$ 8) $14\sqrt[7]{128^{6}}$