1. El problema es racionalizar las siguientes expresiones de raíces con fracciones dentro. 2. La fórmula general para racionalizar una raíz $\sqrt[n]{\frac{a}{b}}$ es usar la propiedad: $$\sqrt[n]{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}$$ Para racionalizar, multiplicamos numerador y denominador por $\sqrt[n]{b^{n-1}}$ para eliminar la raíz del denominador. 3. Aplicamos paso a paso para cada expresión: **1) $\sqrt[3]{\frac{3}{2}}$** $$\sqrt[3]{\frac{3}{2}} = \frac{\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}}$$ Multiplicamos por $\frac{\sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2^2}}$: $$= \frac{\sqrt[3]{3} \cdot \sqrt[3]{2^2}}{\sqrt[3]{2} \cdot \sqrt[3]{2^2}} = \frac{\sqrt[3]{3 \cdot 2^2}}{\sqrt[3]{2^3}} = \frac{\sqrt[3]{12}}{2}$$ **2) $\sqrt[6]{\frac{10}{8}}$** $$= \frac{\sqrt[6]{10}}{\sqrt[6]{8}}$$ Multiplicamos por $\frac{\sqrt[6]{8^5}}{\sqrt[6]{8^5}}$: $$= \frac{\sqrt[6]{10 \cdot 8^5}}{\sqrt[6]{8^6}} = \frac{\sqrt[6]{10 \cdot 32768}}{8} = \frac{\sqrt[6]{327680}}{8}$$ **3) $\sqrt[7]{\frac{7}{4}}$** $$= \frac{\sqrt[7]{7}}{\sqrt[7]{4}}$$ Multiplicamos por $\frac{\sqrt[7]{4^6}}{\sqrt[7]{4^6}}$: $$= \frac{\sqrt[7]{7 \cdot 4^6}}{\sqrt[7]{4^7}} = \frac{\sqrt[7]{7 \cdot 4096}}{4} = \frac{\sqrt[7]{28672}}{4}$$ **4) $\sqrt[5]{\frac{6}{16}}$** $$= \frac{\sqrt[5]{6}}{\sqrt[5]{16}}$$ Multiplicamos por $\frac{\sqrt[5]{16^4}}{\sqrt[5]{16^4}}$: $$= \frac{\sqrt[5]{6 \cdot 16^4}}{\sqrt[5]{16^5}} = \frac{\sqrt[5]{6 \cdot 65536}}{16} = \frac{\sqrt[5]{393216}}{16}$$ **5) $\sqrt[6]{\frac{9}{32}}$** $$= \frac{\sqrt[6]{9}}{\sqrt[6]{32}}$$ Multiplicamos por $\frac{\sqrt[6]{32^5}}{\sqrt[6]{32^5}}$: $$= \frac{\sqrt[6]{9 \cdot 32^5}}{\sqrt[6]{32^6}} = \frac{\sqrt[6]{9 \cdot 33554432}}{32} = \frac{\sqrt[6]{301989888}}{32}$$ **6) $\sqrt[7]{\frac{4}{64}}$** $$= \frac{\sqrt[7]{4}}{\sqrt[7]{64}}$$ Multiplicamos por $\frac{\sqrt[7]{64^6}}{\sqrt[7]{64^6}}$: $$= \frac{\sqrt[7]{4 \cdot 64^6}}{\sqrt[7]{64^7}} = \frac{\sqrt[7]{4 \cdot 4398046511104}}{64} = \frac{\sqrt[7]{17592186044416}}{64}$$ **7) $\sqrt[7]{\frac{12}{8}}$** $$= \frac{\sqrt[7]{12}}{\sqrt[7]{8}}$$ Multiplicamos por $\frac{\sqrt[7]{8^6}}{\sqrt[7]{8^6}}$: $$= \frac{\sqrt[7]{12 \cdot 8^6}}{\sqrt[7]{8^7}} = \frac{\sqrt[7]{12 \cdot 262144}}{8} = \frac{\sqrt[7]{3145728}}{8}$$ **8) $\sqrt[7]{\frac{14}{128}}$** $$= \frac{\sqrt[7]{14}}{\sqrt[7]{128}}$$ Multiplicamos por $\frac{\sqrt[7]{128^6}}{\sqrt[7]{128^6}}$: $$= \frac{\sqrt[7]{14 \cdot 128^6}}{\sqrt[7]{128^7}} = \frac{\sqrt[7]{14 \cdot 35184372088832}}{128} = \frac{\sqrt[7]{492581209243648}}{128}$$ 4. Así, todas las expresiones quedan racionalizadas con denominadores sin raíz. Respuesta final: 1) $\frac{\sqrt[3]{12}}{2}$ 2) $\frac{\sqrt[6]{327680}}{8}$ 3) $\frac{\sqrt[7]{28672}}{4}$ 4) $\frac{\sqrt[5]{393216}}{16}$ 5) $\frac{\sqrt[6]{301989888}}{32}$ 6) $\frac{\sqrt[7]{17592186044416}}{64}$ 7) $\frac{\sqrt[7]{3145728}}{8}$ 8) $\frac{\sqrt[7]{492581209243648}}{128}$