1. Planteamos el problema: Encontrar las raíces del polinomio $$Q(x)=15x^3-31x^2+4$$. 2. Para encontrar las raíces, buscamos los valores de $x$ que hacen que $Q(x)=0$. 3. Escribimos la ecuación: $$15x^3-31x^2+4=0$$. 4. Intentamos encontrar raíces racionales usando el teorema del residuo racional, que sugiere probar divisores de 4 (término independiente) sobre divisores de 15 (coeficiente líder). 5. Probamos $x=1$: $$15(1)^3 -31(1)^2 +4 = 15 -31 +4 = -12 \neq 0$$. 6. Probamos $x=\frac{4}{15}$: $$15\left(\frac{4}{15}\right)^3 -31\left(\frac{4}{15}\right)^2 +4$$. Calculamos paso a paso: $$15 \times \frac{64}{3375} -31 \times \frac{16}{225} +4 = \frac{960}{3375} - \frac{496}{225} +4$$ Simplificamos denominadores y sumamos: $$\frac{960}{3375} - \frac{496 \times 15}{3375} + \frac{4 \times 3375}{3375} = \frac{960 - 7440 + 13500}{3375} = \frac{7020}{3375} \neq 0$$. 7. Probamos $x=4$: $$15(4)^3 -31(4)^2 +4 = 15(64) -31(16) +4 = 960 -496 +4 = 468 \neq 0$$. 8. Probamos $x=\frac{1}{3}$: $$15\left(\frac{1}{3}\right)^3 -31\left(\frac{1}{3}\right)^2 +4 = 15 \times \frac{1}{27} -31 \times \frac{1}{9} +4 = \frac{15}{27} - \frac{31}{9} +4 = \frac{5}{9} - \frac{31}{9} +4 = -\frac{26}{9} +4 = -\frac{26}{9} + \frac{36}{9} = \frac{10}{9} \neq 0$$. 9. Probamos $x=\frac{4}{5}$: $$15\left(\frac{4}{5}\right)^3 -31\left(\frac{4}{5}\right)^2 +4 = 15 \times \frac{64}{125} -31 \times \frac{16}{25} +4 = \frac{960}{125} - \frac{496}{25} +4 = 7.68 - 19.84 +4 = -8.16 \neq 0$$. 10. Probamos $x=\frac{1}{5}$: $$15\left(\frac{1}{5}\right)^3 -31\left(\frac{1}{5}\right)^2 +4 = 15 \times \frac{1}{125} -31 \times \frac{1}{25} +4 = \frac{15}{125} - \frac{31}{25} +4 = 0.12 - 1.24 +4 = 2.88 \neq 0$$. 11. Probamos $x=\frac{4}{3}$: $$15\left(\frac{4}{3}\right)^3 -31\left(\frac{4}{3}\right)^2 +4 = 15 \times \frac{64}{27} -31 \times \frac{16}{9} +4 = \frac{960}{27} - \frac{496}{9} +4 = 35.56 - 55.11 +4 = -15.55 \neq 0$$. 12. Probamos $x=\frac{1}{15}$: $$15\left(\frac{1}{15}\right)^3 -31\left(\frac{1}{15}\right)^2 +4 = 15 \times \frac{1}{3375} -31 \times \frac{1}{225} +4 = \frac{15}{3375} - \frac{31}{225} +4 = 0.0044 - 0.1378 +4 = 3.8666 \neq 0$$. 13. Como no encontramos raíces racionales, usamos la división sintética o el método numérico para aproximar las raíces. 14. Usamos división sintética para dividir por $x=1$: $$\begin{array}{r|rrrr} 1 & 15 & -31 & 0 & 4 \\ & & 15 & -16 & -16 \\ \hline & 15 & -16 & -16 & -12 \\ \end{array}$$ El residuo no es cero, por lo que $x=1$ no es raíz. 15. Usamos la fórmula de Cardano para resolver el polinomio cúbico general: Para $$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$$, con $$a=15, b=-31, c=0, d=4$$. 16. Calculamos: $$\Delta_0 = b^2 - 3ac = (-31)^2 - 3 \times 15 \times 0 = 961$$ $$\Delta_1 = 2b^3 - 9abc + 27a^2 d = 2(-31)^3 - 9 \times 15 \times (-31) \times 0 + 27 \times 15^2 \times 4 = 2(-29791) + 0 + 27 \times 225 \times 4 = -59582 + 24300 = -35282$$ 17. Calculamos: $$C = \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3}}{2}}$$ Calculamos discriminante: $$\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3 = (-35282)^2 - 4 \times 961^3 = 1244849924 - 4 \times 887503681 = 1244849924 - 3550014724 = -2305164800 < 0$$ 18. Como el discriminante es negativo, hay tres raíces reales y usamos la forma trigonométrica para encontrar las raíces. 19. Calculamos: $$\theta = \arccos\left( \frac{\Delta_1}{2 \sqrt{\Delta_0^3}} \right)$$ Calculamos: $$\sqrt{\Delta_0^3} = \sqrt{961^3} = 961^{1.5} = 961 \times \sqrt{961} = 961 \times 31 = 29791$$ Entonces: $$\frac{\Delta_1}{2 \sqrt{\Delta_0^3}} = \frac{-35282}{2 \times 29791} = \frac{-35282}{59582} \approx -0.592$$ 20. Calculamos $$\theta = \arccos(-0.592) \approx 2.204$$ radianes. 21. Las raíces son: $$x_k = -\frac{1}{3a} \left( b + 2 \sqrt{\Delta_0} \cos\left( \frac{\theta + 2k\pi}{3} \right) \right), \quad k=0,1,2$$ 22. Calculamos $$\sqrt{\Delta_0} = \sqrt{961} = 31$$. 23. Para $$k=0$$: $$x_0 = -\frac{1}{45} \left( -31 + 2 \times 31 \times \cos\left( \frac{2.204}{3} \right) \right) = -\frac{1}{45} \left( -31 + 62 \times \cos(0.735) \right)$$ Calculamos $$\cos(0.735) \approx 0.741$$: $$x_0 = -\frac{1}{45} (-31 + 62 \times 0.741) = -\frac{1}{45} (-31 + 45.942) = -\frac{1}{45} (14.942) = -0.332$$ 24. Para $$k=1$$: $$x_1 = -\frac{1}{45} \left( -31 + 62 \times \cos\left( \frac{2.204 + 2\pi}{3} \right) \right)$$ Calculamos $$\frac{2.204 + 2\pi}{3} = \frac{2.204 + 6.283}{3} = \frac{8.487}{3} = 2.829$$ $$\cos(2.829) \approx -0.951$$ Entonces: $$x_1 = -\frac{1}{45} (-31 + 62 \times -0.951) = -\frac{1}{45} (-31 - 58.962) = -\frac{1}{45} (-89.962) = 1.999$$ 25. Para $$k=2$$: $$x_2 = -\frac{1}{45} \left( -31 + 62 \times \cos\left( \frac{2.204 + 4\pi}{3} \right) \right)$$ Calculamos $$\frac{2.204 + 4\pi}{3} = \frac{2.204 + 12.566}{3} = \frac{14.77}{3} = 4.923$$ $$\cos(4.923) \approx 0.210$$ Entonces: $$x_2 = -\frac{1}{45} (-31 + 62 \times 0.210) = -\frac{1}{45} (-31 + 13.02) = -\frac{1}{45} (-17.98) = 0.399$$ 26. Por lo tanto, las raíces aproximadas del polinomio son: $$x \approx -0.332, \quad x \approx 1.999, \quad x \approx 0.399$$.