1. O problema é mostrar que a raiz quadrada de 2, ou seja, $\sqrt{2}$, é um número irracional. 2. Um número irracional é um número que não pode ser expresso como uma fração $\frac{a}{b}$, onde $a$ e $b$ são inteiros e $b \neq 0$. 3. Para provar que $\sqrt{2}$ é irracional, usaremos o método da contradição: assumimos que $\sqrt{2}$ é racional e chegamos a uma contradição. 4. Suponha que $\sqrt{2} = \frac{a}{b}$, onde $a$ e $b$ são inteiros sem fatores comuns (a fração está na forma mais simples). 5. Elevando ambos os lados ao quadrado, temos: $$\left(\sqrt{2}\right)^2 = \left(\frac{a}{b}\right)^2$$ $$2 = \frac{a^2}{b^2}$$ 6. Multiplicando ambos os lados por $b^2$, obtemos: $$2b^2 = a^2$$ 7. Isso significa que $a^2$ é par (pois é igual a $2$ vezes um número inteiro), logo $a$ também é par (pois o quadrado de um número ímpar é ímpar). 8. Se $a$ é par, podemos escrever $a = 2k$ para algum inteiro $k$. 9. Substituindo na equação $2b^2 = a^2$, temos: $$2b^2 = (2k)^2 = 4k^2$$ 10. Dividindo ambos os lados por 2: $$b^2 = 2k^2$$ 11. Isso mostra que $b^2$ é par, logo $b$ também é par. 12. Concluímos que tanto $a$ quanto $b$ são pares, o que contradiz a suposição inicial de que $a$ e $b$ não têm fatores comuns. 13. Portanto, nossa suposição de que $\sqrt{2}$ é racional está errada. 14. Logo, $\sqrt{2}$ é irracional.