1. Planteamos el problema: Encontrar el rango de las matrices A, B, C, D, E y F. 2. Recordemos que el rango de una matriz es el número máximo de filas o columnas linealmente independientes. 3. Para cada matriz, aplicaremos operaciones elementales para encontrar el número de filas no nulas en su forma escalonada. 4. Matriz A: $$A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 & 4 \\ -2 & 4 & -6 & 8\end{pmatrix}$$ Multiplicamos la fila 1 por 2 y sumamos a la fila 2: $$\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 & 4 \\ \cancel{-2} + 2\times 1 & \cancel{4} + 2\times (-2) & \cancel{-6} + 2\times 3 & 8 + 2\times 4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & -2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 16\end{pmatrix}$$ La fila 2 no es nula, rango(A) = 2. 5. Matriz B: $$B=\begin{pmatrix}1 & 3 & 0 \\ -1 & 0 & 0\end{pmatrix}$$ Sumamos fila 1 a fila 2: $$\begin{pmatrix}1 & 3 & 0 \\ \cancel{-1} + 1 & 0 + 3 & 0 + 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 3 & 0 \\ 0 & 3 & 0\end{pmatrix}$$ Ambas filas son no nulas, rango(B) = 2. 6. Matriz C: $$C=\begin{pmatrix}1 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -6 \\ 12 & -24 & 36\end{pmatrix}$$ Observamos que fila 2 es -2 veces fila 1 y fila 3 es 12 veces fila 1, por lo que solo una fila es linealmente independiente. Entonces rango(C) = 1. 7. Matriz D: $$D=\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 0 \\ 3 & 6 & 0\end{pmatrix}$$ Restamos 2 veces fila 1 a fila 2: $$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 - 2\times 1 & 4 - 2\times 2 & 0 - 2\times 3 \\ 3 & 6 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -6 \\ 3 & 6 & 0\end{pmatrix}$$ Restamos 3 veces fila 1 a fila 3: $$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -6 \\ 3 - 3\times 1 & 6 - 3\times 2 & 0 - 3\times 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -6 \\ 0 & 0 & -9\end{pmatrix}$$ Las filas 2 y 3 son linealmente independientes, rango(D) = 3. 8. Matriz E: $$E=\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 1\end{pmatrix}$$ Restamos \frac{1}{2} veces fila 2 a fila 3: $$\begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 - \cancel{\frac{1}{2} \times 2} & 0 - 0 & 1 - \frac{1}{2} \times 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -\frac{1}{2}\end{pmatrix}$$ Tres filas no nulas, rango(E) = 3. 9. Matriz F: $$F=\begin{pmatrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0\end{pmatrix}$$ Las filas son linealmente independientes, rango(F) = 3. Respuesta final: - rango(A) = 2 - rango(B) = 2 - rango(C) = 1 - rango(D) = 3 - rango(E) = 3 - rango(F) = 3