1. Planteamos el problema: Encontrar la razón media de cambio de la función $f(x) = 1 - x + x^3$ entre dos valores reales $a$ y $b$. 2. La fórmula para la razón media de cambio entre $x=a$ y $x=b$ es: $$\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$$ Esta fórmula representa la pendiente de la recta secante que pasa por los puntos $(a, f(a))$ y $(b, f(b))$. 3. Evaluamos $f(a)$ y $f(b)$: $$f(a) = 1 - a + a^3$$ $$f(b) = 1 - b + b^3$$ 4. Sustituimos en la fórmula: $$\frac{(1 - b + b^3) - (1 - a + a^3)}{b - a} = \frac{1 - b + b^3 - 1 + a - a^3}{b - a} = \frac{-b + b^3 + a - a^3}{b - a}$$ 5. Simplificamos el numerador: $$a - b + b^3 - a^3$$ 6. Factorizamos la diferencia de cubos: $$b^3 - a^3 = (b - a)(b^2 + ab + a^2)$$ 7. Entonces el numerador es: $$a - b + (b - a)(b^2 + ab + a^2)$$ 8. Reescribimos $a - b$ como $-(b - a)$ para factorizar: $$-(b - a) + (b - a)(b^2 + ab + a^2) = (b - a)(-1 + b^2 + ab + a^2)$$ 9. Sustituimos en la razón media de cambio: $$\frac{(b - a)(-1 + b^2 + ab + a^2)}{b - a}$$ 10. Cancelamos $(b - a)$ en numerador y denominador: $$\frac{\cancel{(b - a)}(-1 + b^2 + ab + a^2)}{\cancel{(b - a)}} = -1 + b^2 + ab + a^2$$ 11. Por lo tanto, la razón media de cambio entre $a$ y $b$ es: $$\boxed{-1 + b^2 + ab + a^2}$$ Esta expresión nos da la pendiente promedio de la función $f(x)$ entre los puntos $x=a$ y $x=b$.