1. **Planteamiento del problema:** Se nos dan varias razones entre libros vendidos de diferentes categorías y se pide: a) La razón entre libros de derecho y psicología. b) El total de libros vendidos, dado un número de clientes y una razón entre clientes que no recibieron agendas y clientes que compraron libros de historia. 2. **Datos y variables:** - Psicología (P) y Historia (H): $\frac{P}{H} = \frac{7}{6}$ - Literatura (L) y Derecho (D): $L = 0.4D$ - Literatura e Historia: $\frac{L}{H} = \frac{2}{3}$ - Cada cliente compró 1 libro. 3. **Encontrar la razón entre Derecho y Psicología (a):** De $\frac{L}{H} = \frac{2}{3}$ y $L = 0.4D$ tenemos: $$\frac{0.4D}{H} = \frac{2}{3} \Rightarrow 0.4D = \frac{2}{3}H \Rightarrow D = \frac{2}{3} \cdot \frac{H}{0.4} = \frac{2}{3} \cdot \frac{H}{\frac{2}{5}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{5}{2}H = \frac{5}{3}H$$ De $\frac{P}{H} = \frac{7}{6}$ despejamos $P$: $$P = \frac{7}{6}H$$ Entonces la razón $\frac{D}{P}$ es: $$\frac{D}{P} = \frac{\frac{5}{3}H}{\frac{7}{6}H} = \frac{5}{3} \times \frac{6}{7} = \frac{30}{21} = \frac{10}{7}$$ **Interpretación:** Por cada 10 libros de derecho vendidos, se vendieron 7 libros de psicología. 4. **Calcular el total de libros vendidos (b):** Sabemos que 40 clientes compraron libros de derecho y recibieron agenda. Sea $x$ el número de clientes que compraron libros de derecho y no recibieron agenda. La razón dada es: $$\frac{x}{\text{clientes que compraron historia}} = \frac{25}{21}$$ Clientes que compraron derecho totales: $$40 + x$$ Clientes que compraron historia: $$H_c$$ Entonces: $$\frac{x}{H_c} = \frac{25}{21} \Rightarrow x = \frac{25}{21} H_c$$ Pero los clientes que compraron derecho son $40 + x$, y sabemos que cada cliente compró un libro, entonces: $$D_c = 40 + x$$ Sabemos que la razón entre derecho e historia en libros es $\frac{D}{H} = \frac{10}{7}$ y cada cliente compró un libro, por lo que la razón entre clientes debe ser la misma: $$\frac{D_c}{H_c} = \frac{10}{7}$$ Sustituyendo $D_c = 40 + x$: $$\frac{40 + x}{H_c} = \frac{10}{7}$$ Multiplicamos: $$40 + x = \frac{10}{7} H_c$$ Sustituimos $x = \frac{25}{21} H_c$: $$40 + \frac{25}{21} H_c = \frac{10}{7} H_c$$ Multiplicamos todo por 21 para eliminar denominadores: $$840 + 25 H_c = 3 \times 10 H_c = 30 H_c$$ Simplificamos: $$840 = 30 H_c - 25 H_c = 5 H_c \Rightarrow H_c = \frac{840}{5} = 168$$ Entonces: $$x = \frac{25}{21} \times 168 = 25 \times 8 = 200$$ Clientes que compraron derecho: $$D_c = 40 + 200 = 240$$ Clientes que compraron historia: $$H_c = 168$$ Clientes que compraron psicología: De $\frac{P}{H} = \frac{7}{6}$ y $H_c = 168$: $$P_c = \frac{7}{6} \times 168 = 7 \times 28 = 196$$ Clientes que compraron literatura: De $\frac{L}{H} = \frac{2}{3}$ y $H_c = 168$: $$L_c = \frac{2}{3} \times 168 = 2 \times 56 = 112$$ 5. **Total de libros vendidos:** $$\text{Total} = P_c + H_c + L_c + D_c = 196 + 168 + 112 + 240 = 716$$ **Respuesta final:** - a) La razón entre libros de derecho y psicología es $\frac{10}{7}$. - b) El total de libros vendidos es 716.