1. El problema es determinar el recorrido de la función racional $$f(x) = \frac{1}{x-1}$$. 2. El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar $$f(x)$$ cuando $$x$$ varía en su dominio. 3. Para la función $$f(x) = \frac{1}{x-1}$$, el dominio es $$x \neq 1$$ porque el denominador no puede ser cero. 4. Observamos que $$f(x)$$ es una función racional con un denominador lineal, y su valor nunca puede ser cero porque $$\frac{1}{x-1} = 0$$ no tiene solución. 5. Por lo tanto, el valor $$y=0$$ no está en el recorrido. 6. Para cualquier otro valor real $$y \neq 0$$, podemos despejar $$x$$: $$y = \frac{1}{x-1} \implies y(x-1) = 1 \implies yx - y = 1 \implies yx = 1 + y \implies x = \frac{1+y}{y}$$ 7. Como para cualquier $$y \neq 0$$ existe un $$x$$ que satisface la ecuación, el recorrido es todos los reales excepto $$0$$. 8. En conclusión, el recorrido de $$f(x) = \frac{1}{x-1}$$ es $$\mathbb{R} \setminus \{0\}$$, es decir, todos los números reales excepto cero.