1. **Planteamiento del problema:** Se tienen dos modelos de aviones de juguete, A y B. - Tiempo de ensamblaje por unidad: modelo A = 5 minutos, modelo B = 8 minutos. - Tiempo de empaquetado por unidad: modelo A = 3 minutos, modelo B = 2 minutos. - Tiempo total disponible para ensamblar: 800 minutos. - Tiempo total disponible para empaquetar: 360 minutos. Se definen variables: - $x$ = cantidad de unidades del modelo A. - $y$ = cantidad de unidades del modelo B. 2. **Formulación de las restricciones:** - Para ensamblaje: $$5x + 8y \leq 800$$ - Para empaquetado: $$3x + 2y \leq 360$$ - Además, no se pueden producir cantidades negativas: $$x \geq 0, \quad y \geq 0$$ 3. **Interpretación geométrica:** Estas desigualdades definen una región factible en el plano $xy$ donde se cumplen todas las condiciones. 4. **Encontrar los puntos de intersección de las rectas límite:** - Intersección de $$5x + 8y = 800$$ y $$3x + 2y = 360$$. Multiplicamos la segunda ecuación por 4 para igualar coeficientes de $y$: $$4(3x + 2y) = 4(360) \Rightarrow 12x + 8y = 1440$$ Restamos la primera ecuación: $$12x + 8y - (5x + 8y) = 1440 - 800 \Rightarrow 7x = 640 \Rightarrow x = \frac{640}{7} \approx 91.43$$ Sustituimos $x$ en la primera ecuación: $$5(91.43) + 8y = 800 \Rightarrow 457.15 + 8y = 800 \Rightarrow 8y = 342.85 \Rightarrow y = \frac{342.85}{8} \approx 42.86$$ 5. **Puntos de intersección con los ejes:** - Para $$5x + 8y = 800$$: - Si $x=0$, $8y=800 \Rightarrow y=100$ - Si $y=0$, $5x=800 \Rightarrow x=160$ - Para $$3x + 2y = 360$$: - Si $x=0$, $2y=360 \Rightarrow y=180$ - Si $y=0$, $3x=360 \Rightarrow x=120$ 6. **Región factible:** Está limitada por las líneas y los ejes positivos, y corresponde a los valores de $x$ y $y$ que satisfacen todas las desigualdades. 7. **Conclusión:** La región sombreada es el polígono con vértices aproximadamente en: - $(0,0)$ - $(0,100)$ - $(91.43,42.86)$ - $(120,0)$ Esta región representa todas las combinaciones posibles de producción que cumplen con los tiempos disponibles.