1. **Planteamiento del problema:** Se nos da la división $$\frac{4x^4 - 2x^3 + 2x + b}{2x^2 - 3x + 1}$$ y se nos dice que el residuo es un monomio. Debemos encontrar el valor de $$b^2 + b + 1$$. 2. **Recordatorio de la división de polinomios:** Cuando dividimos un polinomio $$P(x)$$ entre otro $$D(x)$$, obtenemos un cociente $$Q(x)$$ y un residuo $$R(x)$$ tal que: $$P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x)$$ El grado de $$R(x)$$ es menor que el grado de $$D(x)$$. 3. **Datos importantes:** - Grado de $$D(x) = 2$$. - Por lo tanto, el residuo $$R(x)$$ debe ser de grado menor que 2. - Se nos dice que el residuo es un monomio, es decir, de la forma $$kx^m$$ con $$m < 2$$. 4. **Procedimiento:** Dividamos $$4x^4 - 2x^3 + 2x + b$$ entre $$2x^2 - 3x + 1$$ usando división sintética o larga para encontrar el residuo en función de $$b$$. 5. **División larga:** - Primer término del cociente: $$\frac{4x^4}{2x^2} = 2x^2$$ - Multiplicamos: $$2x^2 \cdot (2x^2 - 3x + 1) = 4x^4 - 6x^3 + 2x^2$$ - Restamos: $$ (4x^4 - 2x^3 + 2x + b) - (4x^4 - 6x^3 + 2x^2) = (0x^4) + (4x^3) - 2x^2 + 2x + b $$ 6. **Siguiente término del cociente:** - $$\frac{4x^3}{2x^2} = 2x$$ - Multiplicamos: $$2x \cdot (2x^2 - 3x + 1) = 4x^3 - 6x^2 + 2x$$ - Restamos: $$ (4x^3 - 2x^2 + 2x + b) - (4x^3 - 6x^2 + 2x) = 0x^3 + (4x^2) + 0x + b $$ 7. **Siguiente término del cociente:** - $$\frac{4x^2}{2x^2} = 2$$ - Multiplicamos: $$2 \cdot (2x^2 - 3x + 1) = 4x^2 - 6x + 2$$ - Restamos: $$ (4x^2 + 0x + b) - (4x^2 - 6x + 2) = 0x^2 + 6x + (b - 2) $$ 8. **Residuo:** El residuo es $$6x + (b - 2)$$. 9. **Condición para que el residuo sea un monomio:** El residuo tiene que ser un monomio, es decir, solo un término. Aquí hay dos términos: $$6x$$ y $$b - 2$$. Para que sea un monomio, uno de ellos debe ser cero. 10. **Caso 1:** $$6x$$ es el término con $$x$$, no puede ser cero para todo $$x$$, así que el término constante debe ser cero: $$b - 2 = 0 \Rightarrow b = 2$$ 11. **Verificación:** Con $$b=2$$, el residuo es $$6x$$, que es un monomio. 12. **Calcular $$b^2 + b + 1$$:** $$2^2 + 2 + 1 = 4 + 2 + 1 = 7$$ **Respuesta final:** $$7$$.