1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación $$3^{2x^2 + 6x - 9} + 4 \cdot 15^{x^2 + 3x - 5} = 3 \cdot 5^{2x^2 + 6x - 9}$$. 2. Observamos que $$15 = 3 \cdot 5$$. Podemos reescribir $$15^{x^2 + 3x - 5}$$ como $$3^{x^2 + 3x - 5} \cdot 5^{x^2 + 3x - 5}$$. 3. Sea $$y = x^2 + 3x - 5$$, entonces: - El exponente en el primer término es $$2x^2 + 6x - 9$$, que es igual a $$2y + 1$$ ya que $$2y + 1 = 2(x^2 + 3x - 5) + 1 = 2x^2 + 6x - 10 + 1 = 2x^2 + 6x - 9$$. 4. Reescribimos la ecuación en función de $$y$$: $$ 3^{2y+1} + 4 \cdot 3^{y} 5^{y} = 3 \cdot 5^{2y+1} $$ 5. Simplificamos términos: $$ 3^{2y} \cdot 3^{1} + 4 (3^{y} 5^{y}) = 3 (5^{2y} 5^{1}) $$ $$ 3 \cdot (3^{y})^{2} + 4 \cdot (3^{y} 5^{y}) = 3 \cdot 5 \cdot (5^{y})^{2} $$ 6. Sea $$a = 3^{y}$$ y $$b = 5^{y}$$, la ecuación se vuelve: $$ 3 a^{2} + 4 a b = 15 b^{2} $$ 7. Dividimos toda la ecuación por $$b^{2}$$ (asumiendo $$b \neq 0$$): $$ 3 \left(\frac{a}{b}\right)^{2} + 4 \left(\frac{a}{b}\right) = 15 $$ 8. Sea $$t = \frac{a}{b} = \frac{3^{y}}{5^{y}} = \left(\frac{3}{5}\right)^{y}$$: $$ 3 t^{2} + 4 t - 15 = 0 $$ 9. Resolvemos la ecuación cuadrática para $$t$$: $$ \Delta = 4^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (-15) = 16 + 180 = 196 $$ $$ t = \frac{-4 \pm \sqrt{196}}{2 \cdot 3} = \frac{-4 \pm 14}{6} $$ Soluciones: - $$t_1 = \frac{10}{6} = \frac{5}{3}$$ - $$t_2 = \frac{-18}{6} = -3$$ (descartamos porque $$t = \left(\frac{3}{5}\right)^{y} > 0$$ siempre) 10. Entonces: $$ \left(\frac{3}{5}\right)^{y} = \frac{5}{3} $$ 11. Tomamos logaritmo natural para despejar $$y$$: $$ y \ln \left(\frac{3}{5}\right) = \ln \left(\frac{5}{3}\right) $$ 12. Por propiedades de logaritmos: $$ y = \frac{\ln \left(\frac{5}{3}\right)}{\ln \left(\frac{3}{5}\right)} = \frac{\ln \left(\frac{5}{3}\right)}{-\ln \left(\frac{5}{3}\right)} = -1 $$ 13. Recordando $$y = x^{2} + 3x - 5$$: $$ x^{2} + 3x - 5 = -1 $$ 14. Simplificamos: $$ x^{2} + 3x - 4 = 0 $$ 15. Resolvemos esta ecuación cuadrática: $$ \Delta = 3^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25 $$ $$ x = \frac{-3 \pm 5}{2} $$ 16. Soluciones: - $$x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$ - $$x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$ 17. Por lo tanto, las soluciones de la ecuación original son $$x = 1$$ y $$x = -4$$.