1. Planteamos el problema: Resolver la ecuación $$\frac{3x^{2} - 2x}{3x + 1} - x + 1 = -\frac{1}{2x}$$. 2. Para resolver ecuaciones con fracciones, el primer paso es encontrar un común denominador para eliminar las fracciones multiplicando ambos lados. 3. Los denominadores son $3x + 1$ y $2x$. El común denominador es $$2x(3x + 1)$$. 4. Multiplicamos toda la ecuación por $$2x(3x + 1)$$ para eliminar los denominadores: $$2x(3x + 1) \times \left(\frac{3x^{2} - 2x}{3x + 1} - x + 1\right) = 2x(3x + 1) \times \left(-\frac{1}{2x}\right)$$ 5. Distribuyendo: $$2x \cancel{(3x + 1)} \times \frac{3x^{2} - 2x}{\cancel{3x + 1}} - 2x(3x + 1) x + 2x(3x + 1) = -\cancel{2x} (3x + 1) \times \frac{1}{\cancel{2x}}$$ 6. Simplificando: $$2x(3x^{2} - 2x) - 2x(3x + 1) x + 2x(3x + 1) = -(3x + 1)$$ 7. Expandimos cada término: - Primer término: $$2x(3x^{2} - 2x) = 6x^{3} - 4x^{2}$$ - Segundo término: $$-2x(3x + 1) x = -2x^{2}(3x + 1) = -6x^{3} - 2x^{2}$$ - Tercer término: $$2x(3x + 1) = 6x^{2} + 2x$$ 8. La ecuación queda: $$6x^{3} - 4x^{2} - 6x^{3} - 2x^{2} + 6x^{2} + 2x = -(3x + 1)$$ 9. Simplificamos términos semejantes en el lado izquierdo: $$6x^{3} - 6x^{3} = 0$$ $$-4x^{2} - 2x^{2} + 6x^{2} = 0$$ Entonces: $$0 + 0 + 2x = -(3x + 1)$$ 10. Simplificamos la ecuación: $$2x = -3x - 1$$ 11. Sumamos $3x$ a ambos lados: $$2x + 3x = -1$$ $$5x = -1$$ 12. Dividimos ambos lados entre 5: $$x = \frac{-1}{5}$$ 13. Verificamos que $x = -\frac{1}{5}$ no anule denominadores originales: - $3x + 1 = 3(-\frac{1}{5}) + 1 = -\frac{3}{5} + 1 = \frac{2}{5} \neq 0$ - $2x = 2(-\frac{1}{5}) = -\frac{2}{5} \neq 0$ Por lo tanto, $x = -\frac{1}{5}$ es solución válida. **Respuesta final:** $$x = -\frac{1}{5}$$