1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$x^{2} y^{-2} x^{-\frac{1}{3}} \frac{1}{y^{4}} \left(y^{2}\right)^{\frac{1}{2}}$$. 2. Recordemos las reglas de exponentes importantes: - Para multiplicar potencias de la misma base, sumamos los exponentes: $$a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$$. - Para una potencia de una potencia, multiplicamos los exponentes: $$(a^{m})^{n} = a^{m \cdot n}$$. - Un exponente negativo indica el recíproco: $$a^{-m} = \frac{1}{a^{m}}$$. 3. Simplificamos paso a paso: - Primero, simplificamos $$\left(y^{2}\right)^{\frac{1}{2}} = y^{2 \cdot \frac{1}{2}} = y^{1} = y$$. 4. Reescribimos la expresión con esta simplificación: $$x^{2} y^{-2} x^{-\frac{1}{3}} \frac{1}{y^{4}} y$$ 5. Agrupamos las potencias de $$x$$ y de $$y$$: - Para $$x$$: $$x^{2} \cdot x^{-\frac{1}{3}} = x^{2 - \frac{1}{3}} = x^{\frac{6}{3} - \frac{1}{3}} = x^{\frac{5}{3}}$$. - Para $$y$$: $$y^{-2} \cdot \frac{1}{y^{4}} \cdot y = y^{-2} \cdot y^{-4} \cdot y^{1} = y^{-2 - 4 + 1} = y^{-5}$$. 6. Por lo tanto, la expresión simplificada es: $$x^{\frac{5}{3}} y^{-5} = \frac{x^{\frac{5}{3}}}{y^{5}}$$. 7. Respuesta final: $$\boxed{\frac{x^{\frac{5}{3}}}{y^{5}}}$$