1. Problema: Simplificar la expresión $$\frac{8a^{-3}bc^{\frac{1}{2}}}{64b^{-1}ca^{-4}}$$ aplicando las leyes de los exponentes. 2. Fórmulas y reglas importantes: - Para dividir potencias con la misma base, restamos los exponentes: $$\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$$. - Para multiplicar potencias con la misma base, sumamos los exponentes: $$x^m \cdot x^n = x^{m+n}$$. - El exponente negativo indica el inverso: $$x^{-m} = \frac{1}{x^m}$$. 3. Desarrollo paso a paso: \begin{aligned} &\frac{8a^{-3}bc^{\frac{1}{2}}}{64b^{-1}ca^{-4}} = \frac{8}{64} \cdot \frac{a^{-3}}{a^{-4}} \cdot \frac{b}{b^{-1}} \cdot \frac{c^{\frac{1}{2}}}{c} \\ &= \frac{8}{64} \cdot a^{-3 - (-4)} \cdot b^{1 - (-1)} \cdot c^{\frac{1}{2} - 1} \\ &= \frac{8}{64} \cdot a^{1} \cdot b^{2} \cdot c^{-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{\cancel{8}}{\cancel{64}} \cdot a^{1} \cdot b^{2} \cdot c^{-\frac{1}{2}} \quad \text{(simplificando } 8/64 = 1/8) \\ &= \frac{1}{8} a b^{2} c^{-\frac{1}{2}} \\ &= \frac{a b^{2}}{8 \sqrt{c}} \quad \text{(porque } c^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{c}}) \end{aligned} Respuesta final: $$\frac{a b^{2}}{8 \sqrt{c}}$$