1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión algebraica racional $$\frac{3x + 1}{4x - 1} + \frac{12x + 4}{x - 2} - \frac{18x - 8}{x + 2}$$. 2. Para sumar y restar fracciones algebraicas, debemos encontrar un denominador común, que es el producto de los denominadores distintos: $$ (4x - 1)(x - 2)(x + 2) $$. 3. Reescribimos cada fracción con el denominador común: $$\frac{3x + 1}{4x - 1} = \frac{(3x + 1)(x - 2)(x + 2)}{(4x - 1)(x - 2)(x + 2)}$$ $$\frac{12x + 4}{x - 2} = \frac{(12x + 4)(4x - 1)(x + 2)}{(4x - 1)(x - 2)(x + 2)}$$ $$\frac{18x - 8}{x + 2} = \frac{(18x - 8)(4x - 1)(x - 2)}{(4x - 1)(x - 2)(x + 2)}$$ 4. Expandimos y simplificamos cada numerador: - Para $$ (3x + 1)(x - 2)(x + 2) $$, primero calculamos $$ (x - 2)(x + 2) = x^2 - 4 $$. Luego: $$ (3x + 1)(x^2 - 4) = 3x(x^2 - 4) + 1(x^2 - 4) = 3x^3 - 12x + x^2 - 4 = 3x^3 + x^2 - 12x - 4 $$. - Para $$ (12x + 4)(4x - 1)(x + 2) $$, primero calculamos $$ (4x - 1)(x + 2) = 4x^2 + 8x - x - 2 = 4x^2 + 7x - 2 $$. Luego: $$ (12x + 4)(4x^2 + 7x - 2) = 12x(4x^2 + 7x - 2) + 4(4x^2 + 7x - 2) = 48x^3 + 84x^2 - 24x + 16x^2 + 28x - 8 = 48x^3 + 100x^2 + 4x - 8 $$. - Para $$ (18x - 8)(4x - 1)(x - 2) $$, primero calculamos $$ (4x - 1)(x - 2) = 4x^2 - 8x - x + 2 = 4x^2 - 9x + 2 $$. Luego: $$ (18x - 8)(4x^2 - 9x + 2) = 18x(4x^2 - 9x + 2) - 8(4x^2 - 9x + 2) = 72x^3 - 162x^2 + 36x - 32x^2 + 72x - 16 = 72x^3 - 194x^2 + 108x - 16 $$. 5. Sumamos y restamos los numeradores: $$ (3x^3 + x^2 - 12x - 4) + (48x^3 + 100x^2 + 4x - 8) - (72x^3 - 194x^2 + 108x - 16) $$ = $$ 3x^3 + x^2 - 12x - 4 + 48x^3 + 100x^2 + 4x - 8 - 72x^3 + 194x^2 - 108x + 16 $$ = $$ (3x^3 + 48x^3 - 72x^3) + (x^2 + 100x^2 + 194x^2) + (-12x + 4x - 108x) + (-4 - 8 + 16) $$ = $$ (-21x^3) + (295x^2) + (-116x) + 4 $$. 6. La expresión resultante es: $$ \frac{-21x^3 + 295x^2 - 116x + 4}{(4x - 1)(x - 2)(x + 2)} $$. 7. Intentamos factorizar el numerador para simplificar, pero no se encuentra un factor común evidente ni factorización simple, por lo que esta es la forma simplificada máxima. **Respuesta final:** $$ \boxed{\frac{-21x^3 + 295x^2 - 116x + 4}{(4x - 1)(x - 2)(x + 2)}} $$