1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$\frac{1}{2x-6} + \frac{x^2+4x+3}{x^2+2x-15} + \frac{1}{x+5}$$. 2. Factorizamos los denominadores y numeradores donde sea posible: - $$2x-6 = 2(x-3)$$ - $$x^2+4x+3 = (x+3)(x+1)$$ - $$x^2+2x-15 = (x+5)(x-3)$$ 3. Reescribimos la expresión con factores: $$\frac{1}{2(x-3)} + \frac{(x+3)(x+1)}{(x+5)(x-3)} + \frac{1}{x+5}$$ 4. Buscamos el mínimo común denominador (MCD): $$2(x-3)(x+5)$$. 5. Convertimos cada fracción al MCD: - Primera fracción: $$\frac{1}{2(x-3)} = \frac{x+5}{2(x-3)(x+5)}$$ - Segunda fracción: $$\frac{(x+3)(x+1)}{(x+5)(x-3)} = \frac{2(x+3)(x+1)}{2(x-3)(x+5)}$$ - Tercera fracción: $$\frac{1}{x+5} = \frac{2(x-3)}{2(x-3)(x+5)}$$ 6. Sumamos los numeradores sobre el MCD: $$\frac{x+5 + 2(x+3)(x+1) + 2(x-3)}{2(x-3)(x+5)}$$ 7. Expandimos y simplificamos el numerador: - $$2(x+3)(x+1) = 2(x^2 + 4x + 3) = 2x^2 + 8x + 6$$ - Sumamos todo: $$x + 5 + 2x^2 + 8x + 6 + 2x - 6 = 2x^2 + (x + 8x + 2x) + (5 + 6 - 6) = 2x^2 + 11x + 5$$ 8. La expresión queda: $$\frac{2x^2 + 11x + 5}{2(x-3)(x+5)}$$ 9. Factorizamos el numerador: $$2x^2 + 11x + 5 = (2x + 1)(x + 5)$$ 10. Simplificamos cancelando el factor común $x+5$: $$\frac{\cancel{(2x + 1)}\cancel{(x + 5)}}{2(x-3)\cancel{(x+5)}} = \frac{2x + 1}{2(x-3)}$$ **Respuesta final:** $$\boxed{\frac{2x + 1}{2(x-3)}}$$