1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$\left(\frac{3x^{2} + 6x}{x^{2} - 4} - \frac{2x}{x - 2}\right) \cdot \frac{x^{3} + 1}{x^{2} + 3x + 2} \div \left(\frac{x^{4} - 5x}{x^{3} - 7x - 6} + \frac{-3x}{x^{3} - 7x - 6}\right)$$ 2. Factorizamos los polinomios donde sea posible: - $3x^{2} + 6x = 3x(x + 2)$ - $x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)$ - $x^{3} + 1 = (x + 1)(x^{2} - x + 1)$ (suma de cubos) - $x^{2} + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$ - $x^{4} - 5x = x(x^{3} - 5)$ - $x^{3} - 7x - 6$ factorizamos por división sintética o prueba: Probamos $x=1$: $1 - 7 - 6 = -12 \neq 0$ Probamos $x=2$: $8 - 14 - 6 = -12 \neq 0$ Probamos $x=3$: $27 - 21 - 6 = 0$, entonces $(x - 3)$ es factor. Dividimos $x^{3} - 7x - 6$ entre $(x - 3)$: $$\frac{x^{3} - 7x - 6}{x - 3} = x^{2} + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2)$$ Entonces $x^{3} - 7x - 6 = (x - 3)(x + 1)(x + 2)$ 3. Reescribimos la expresión con factores: $$\left(\frac{3x(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)} - \frac{2x}{x - 2}\right) \cdot \frac{(x + 1)(x^{2} - x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} \div \left(\frac{x(x^{3} - 5)}{(x - 3)(x + 1)(x + 2)} + \frac{-3x}{(x - 3)(x + 1)(x + 2)}\right)$$ 4. Simplificamos términos comunes en cada fracción: - En el primer paréntesis, cancelamos $(x + 2)$ en la primera fracción: $$\frac{3x\cancel{(x + 2)}}{(x - 2)\cancel{(x + 2)}} = \frac{3x}{x - 2}$$ Entonces el primer paréntesis es: $$\frac{3x}{x - 2} - \frac{2x}{x - 2} = \frac{3x - 2x}{x - 2} = \frac{x}{x - 2}$$ - En la segunda fracción, cancelamos $(x + 1)$: $$\frac{\cancel{(x + 1)}(x^{2} - x + 1)}{\cancel{(x + 1)}(x + 2)} = \frac{x^{2} - x + 1}{x + 2}$$ - En el denominador, sumamos las fracciones con denominador común: $$\frac{x(x^{3} - 5) - 3x}{(x - 3)(x + 1)(x + 2)} = \frac{x(x^{3} - 5) - 3x}{(x - 3)(x + 1)(x + 2)} = \frac{x^{4} - 5x - 3x}{(x - 3)(x + 1)(x + 2)} = \frac{x^{4} - 8x}{(x - 3)(x + 1)(x + 2)}$$ 5. Simplificamos $x^{4} - 8x$ factorizando $x$: $$x^{4} - 8x = x(x^{3} - 8) = x(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)$$ (diferencia de cubos para $x^{3} - 8$) 6. Ahora la expresión es: $$\frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - x + 1}{x + 2} \div \frac{x(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}{(x - 3)(x + 1)(x + 2)}$$ 7. Dividir por una fracción es multiplicar por su inversa: $$= \frac{x}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - x + 1}{x + 2} \cdot \frac{(x - 3)(x + 1)(x + 2)}{x(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}$$ 8. Cancelamos factores comunes: - Cancelamos $x$ en numerador y denominador: $$\frac{\cancel{x}}{x - 2} \cdot \frac{x^{2} - x + 1}{x + 2} \cdot \frac{(x - 3)(x + 1)(x + 2)}{\cancel{x}(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}$$ - Cancelamos $(x + 2)$: $$\frac{1}{x - 2} \cdot (x^{2} - x + 1) \cdot \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}$$ 9. Multiplicamos numeradores y denominadores: Numerador: $$(x^{2} - x + 1)(x - 3)(x + 1)$$ Denominador: $$(x - 2)(x - 2)(x^{2} + 2x + 4) = (x - 2)^{2}(x^{2} + 2x + 4)$$ 10. La expresión simplificada final es: $$\frac{(x^{2} - x + 1)(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)^{2}(x^{2} + 2x + 4)}$$ Respuesta final: $$\boxed{\frac{(x^{2} - x + 1)(x - 3)(x + 1)}{(x - 2)^{2}(x^{2} + 2x + 4)}}$$