1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$\left(\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 5x + 6} + \frac{3x}{x^{2} - 9}\right) \div \left(\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x + 3}\right) \cdot \left(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4}\right)$$ 2. Factorizamos todos los polinomios para facilitar la simplificación: - $x^{2} - 4 = (x - 2)(x + 2)$ - $x^{2} - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$ - $x^{2} - 9 = (x - 3)(x + 3)$ 3. Reescribimos la expresión con factores: $$\left(\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x - 3)} + \frac{3x}{(x - 3)(x + 3)}\right) \div \left(\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x + 3}\right) \cdot \left(\frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)}\right)$$ 4. Simplificamos las fracciones donde sea posible: $$\frac{\cancel{(x - 2)}(x + 2)}{\cancel{(x - 2)}(x - 3)} = \frac{x + 2}{x - 3}$$ 5. Sumamos las fracciones dentro del primer paréntesis: $$\frac{x + 2}{x - 3} + \frac{3x}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{(x + 2)(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} + \frac{3x}{(x - 3)(x + 3)}$$ 6. Sumamos los numeradores con común denominador: $$\frac{(x + 2)(x + 3) + 3x}{(x - 3)(x + 3)}$$ Expandimos el numerador: $$(x + 2)(x + 3) = x^{2} + 3x + 2x + 6 = x^{2} + 5x + 6$$ Entonces: $$\frac{x^{2} + 5x + 6 + 3x}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x^{2} + 8x + 6}{(x - 3)(x + 3)}$$ 7. Simplificamos la expresión dentro del segundo paréntesis: $$\frac{x}{x - 3} - \frac{2}{x + 3} = \frac{x(x + 3)}{(x - 3)(x + 3)} - \frac{2(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x^{2} + 3x - 2x + 6}{(x - 3)(x + 3)} = \frac{x^{2} + x + 6}{(x - 3)(x + 3)}$$ 8. Ahora la expresión completa es: $$\frac{\frac{x^{2} + 8x + 6}{(x - 3)(x + 3)}}{\frac{x^{2} + x + 6}{(x - 3)(x + 3)}} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)}$$ 9. Dividir fracciones es multiplicar por el recíproco: $$\frac{x^{2} + 8x + 6}{(x - 3)(x + 3)} \times \frac{(x - 3)(x + 3)}{x^{2} + x + 6} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)}$$ 10. Cancelamos factores comunes: $$\frac{\cancel{(x - 3)}\cancel{(x + 3)}(x^{2} + 8x + 6)}{\cancel{(x - 3)}\cancel{(x + 3)}(x^{2} + x + 6)} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x^{2} + 8x + 6}{x^{2} + x + 6} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)}$$ 11. Factorizamos numeradores y denominadores donde sea posible: - $x^{2} + 8x + 6$ no se factoriza fácilmente (discriminante $64 - 24 = 40$ no es cuadrado perfecto) - $x^{2} + x + 6$ tampoco (discriminante $1 - 24 = -23$ negativo) 12. Por lo tanto, la expresión simplificada final es: $$\frac{x^{2} + 8x + 6}{x^{2} + x + 6} \cdot \frac{(x - 3)(x + 3)}{(x - 2)(x + 2)}$$ 13. Podemos escribirla como una sola fracción: $$\frac{(x^{2} + 8x + 6)(x - 3)(x + 3)}{(x^{2} + x + 6)(x - 2)(x + 2)}$$ 14. Esta es la forma completamente simplificada de la expresión original. **Respuesta final:** $$\boxed{\frac{(x^{2} + 8x + 6)(x - 3)(x + 3)}{(x^{2} + x + 6)(x - 2)(x + 2)}}$$