1. **Planteamiento del problema:** Simplificar la expresión $$\frac{27x^3 - 8}{x^2 - 16} \div \frac{3x^3 - 5x^2 - 12x + 20}{x^2 - 4} - \frac{x - 2}{x + 4}$$. 2. **Recordatorio de reglas:** Dividir fracciones es equivalente a multiplicar por el recíproco. Es decir, $$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$$. 3. **Factorizamos cada polinomio:** - Diferencia de cubos: $$27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$$. - Diferencia de cuadrados: $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$. - Factorizamos $$3x^3 - 5x^2 - 12x + 20$$ por agrupación: $$3x^3 - 5x^2 - 12x + 20 = (3x^3 - 5x^2) - (12x - 20) = x^2(3x - 5) - 4(3x - 5) = (x^2 - 4)(3x - 5)$$. - Diferencia de cuadrados: $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$. 4. **Reescribimos la expresión con factores:** $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x^2 - 4)(3x - 5)} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 5. **Simplificamos el segundo denominador:** Recordamos que $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$, entonces: $$\frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)(3x - 5)} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)(3x - 5)}$$ 6. **Multiplicamos y simplificamos:** $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)(3x - 5)} = \frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{\cancel{(x - 2)}\cancel{(x + 2)}}{\cancel{(x - 2)}\cancel{(x + 2)}(3x - 5)}$$ 7. **Cancelamos factores comunes:** $$= \frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{1}{3x - 5} = \frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)}$$ 8. **Reescribimos la expresión completa:** $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 9. **Buscamos común denominador para la resta:** El común denominador es $$ (x - 4)(x + 4)(3x - 5) $$. 10. **Convertimos la segunda fracción al común denominador:** $$\frac{x - 2}{x + 4} = \frac{(x - 2)(x - 4)(3x - 5)}{(x + 4)(x - 4)(3x - 5)}$$ 11. **Escribimos la resta con común denominador:** $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) - (x - 2)(x - 4)(3x - 5)}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)}$$ 12. **Expandimos y simplificamos el numerador:** - Expandimos $$ (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) = 27x^3 + 18x^2 + 12x - 18x^2 - 12x - 8 = 27x^3 + 0x^2 + 0x - 8 = 27x^3 - 8 $$ - Expandimos $$ (x - 2)(x - 4) = x^2 - 6x + 8 $$ - Luego $$ (x^2 - 6x + 8)(3x - 5) = 3x^3 - 5x^2 - 18x^2 + 30x + 24x - 40 = 3x^3 - 23x^2 + 54x - 40 $$ 13. **Numerador completo:** $$27x^3 - 8 - (3x^3 - 23x^2 + 54x - 40) = 27x^3 - 8 - 3x^3 + 23x^2 - 54x + 40 = 24x^3 + 23x^2 - 54x + 32$$ 14. **Resultado final:** $$\frac{24x^3 + 23x^2 - 54x + 32}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)}$$ Este es el resultado simplificado de la expresión original.