1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$\left(\frac{x^{2} - 9}{x^{2} - 4x + 3} - \frac{3x}{x^{2} - x - 6}\right) \div \left(\frac{x^{3} - 27}{x^{3} - 3x^{2} - 4x + 12}\right)$$. 2. Factorizamos cada polinomio para simplificar las fracciones: - $x^{2} - 9 = (x-3)(x+3)$ (diferencia de cuadrados). - $x^{2} - 4x + 3 = (x-3)(x-1)$. - $x^{2} - x - 6 = (x-3)(x+2)$. - $x^{3} - 27 = (x-3)(x^{2} + 3x + 9)$ (diferencia de cubos). - $x^{3} - 3x^{2} - 4x + 12$ factorizamos por agrupación: $$x^{3} - 3x^{2} - 4x + 12 = (x^{3} - 3x^{2}) - (4x - 12) = x^{2}(x-3) - 4(x-3) = (x-3)(x^{2} - 4) = (x-3)(x-2)(x+2)$$. 3. Reescribimos la expresión con factores: $$\left(\frac{(x-3)(x+3)}{(x-3)(x-1)} - \frac{3x}{(x-3)(x+2)}\right) \div \left(\frac{(x-3)(x^{2} + 3x + 9)}{(x-3)(x-2)(x+2)}\right)$$. 4. Simplificamos cancelando factores comunes: - En la primera fracción, cancelamos $(x-3)$: $$\frac{\cancel{(x-3)}(x+3)}{\cancel{(x-3)}(x-1)} = \frac{x+3}{x-1}$$. - En la segunda fracción, no se puede simplificar más. - En la división, cancelamos $(x-3)$: $$\frac{\cancel{(x-3)}(x^{2} + 3x + 9)}{\cancel{(x-3)}(x-2)(x+2)} = \frac{x^{2} + 3x + 9}{(x-2)(x+2)}$$. 5. La expresión queda: $$\left(\frac{x+3}{x-1} - \frac{3x}{(x-3)(x+2)}\right) \div \frac{x^{2} + 3x + 9}{(x-2)(x+2)}$$. 6. Encontramos el común denominador para la resta en el numerador: - El común denominador es $(x-1)(x-3)(x+2)$. - Reescribimos cada fracción: $$\frac{x+3}{x-1} = \frac{(x+3)(x-3)(x+2)}{(x-1)(x-3)(x+2)}$$ $$\frac{3x}{(x-3)(x+2)} = \frac{3x(x-1)}{(x-1)(x-3)(x+2)}$$ 7. Restamos los numeradores: $$ (x+3)(x-3)(x+2) - 3x(x-1) = ((x+3)(x-3))(x+2) - 3x(x-1)$$ 8. Calculamos cada término: - $(x+3)(x-3) = x^{2} - 9$ - Entonces: $$ (x^{2} - 9)(x+2) - 3x(x-1) = (x^{3} + 2x^{2} - 9x - 18) - (3x^{2} - 3x)$$ 9. Simplificamos: $$ x^{3} + 2x^{2} - 9x - 18 - 3x^{2} + 3x = x^{3} - x^{2} - 6x - 18$$ 10. La expresión del numerador es: $$\frac{x^{3} - x^{2} - 6x - 18}{(x-1)(x-3)(x+2)}$$ 11. Ahora dividimos por la segunda fracción, que es equivalente a multiplicar por su inversa: $$\frac{x^{3} - x^{2} - 6x - 18}{(x-1)(x-3)(x+2)} \times \frac{(x-2)(x+2)}{x^{2} + 3x + 9}$$ 12. Factorizamos el numerador $x^{3} - x^{2} - 6x - 18$ por agrupación: $$x^{3} - x^{2} - 6x - 18 = (x^{3} - x^{2}) - (6x + 18) = x^{2}(x-1) - 6(x+3)$$ No es factorizable directamente, intentamos división sintética para encontrar raíces: - Probamos $x=3$: $$3^{3} - 3^{2} - 6(3) - 18 = 27 - 9 - 18 - 18 = -18 \neq 0$$ - Probamos $x=-3$: $$(-3)^{3} - (-3)^{2} - 6(-3) - 18 = -27 - 9 + 18 - 18 = -36 \neq 0$$ - Probamos $x=1$: $$1 - 1 - 6 - 18 = -24 \neq 0$$ 13. Intentamos división sintética con $x= -2$: $$(-2)^{3} - (-2)^{2} - 6(-2) - 18 = -8 - 4 + 12 - 18 = -18 \neq 0$$ 14. Intentamos división sintética con $x=6$: $$6^{3} - 6^{2} - 6(6) - 18 = 216 - 36 - 36 - 18 = 126 \neq 0$$ 15. Intentamos división sintética con $x=-1$: $$-1 - 1 + 6 - 18 = -14 \neq 0$$ 16. No encontramos raíces racionales, por lo que dejamos el polinomio sin factorizar. 17. Simplificamos factores comunes: - $(x+2)$ aparece en numerador y denominador, cancelamos: $$\frac{x^{3} - x^{2} - 6x - 18}{(x-1)(x-3)\cancel{(x+2)}} \times \frac{(x-2)\cancel{(x+2)}}{x^{2} + 3x + 9} = \frac{(x^{3} - x^{2} - 6x - 18)(x-2)}{(x-1)(x-3)(x^{2} + 3x + 9)}$$ 18. Resultado final: $$\boxed{\frac{(x^{3} - x^{2} - 6x - 18)(x-2)}{(x-1)(x-3)(x^{2} + 3x + 9)}}$$ Esta es la expresión simplificada, mostrando todos los pasos y cancelaciones.