1. El problema es simplificar la potencia $$\left(\frac{4x^{2}y^{3}z^{4}}{5x^{3}y^{3}z^{2}}\right)^{2}$$. 2. La fórmula para simplificar potencias de fracciones es $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}$$. 3. Primero simplificamos la fracción dentro del paréntesis: $$\frac{4x^{2}y^{3}z^{4}}{5x^{3}y^{3}z^{2}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{x^{2}}{x^{3}} \cdot \frac{y^{3}}{y^{3}} \cdot \frac{z^{4}}{z^{2}}$$ 4. Simplificamos cada término usando las propiedades de potencias: $$\frac{x^{2}}{x^{3}} = x^{2-3} = x^{-1}$$ $$\frac{y^{3}}{y^{3}} = y^{3-3} = y^{0} = 1$$ $$\frac{z^{4}}{z^{2}} = z^{4-2} = z^{2}$$ 5. Entonces la fracción simplificada es: $$\frac{4}{5} \cdot x^{-1} \cdot 1 \cdot z^{2} = \frac{4z^{2}}{5x}$$ 6. Ahora elevamos al cuadrado la fracción simplificada: $$\left(\frac{4z^{2}}{5x}\right)^{2} = \frac{(4z^{2})^{2}}{(5x)^{2}} = \frac{4^{2} (z^{2})^{2}}{5^{2} x^{2}} = \frac{16 z^{4}}{25 x^{2}}$$ 7. Revisamos las opciones dadas y ninguna coincide con $$\frac{16 z^{4}}{25 x^{2}}$$, por lo que revisamos si hubo error en simplificación inicial. 8. Volvemos a simplificar la fracción original con cuidado: $$\frac{4x^{2}y^{3}z^{4}}{5x^{3}y^{3}z^{2}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{x^{2}}{x^{3}} \cdot \frac{y^{3}}{y^{3}} \cdot \frac{z^{4}}{z^{2}} = \frac{4}{5} \cdot x^{-1} \cdot 1 \cdot z^{2} = \frac{4 z^{2}}{5 x}$$ 9. Al elevar al cuadrado: $$\left(\frac{4 z^{2}}{5 x}\right)^{2} = \frac{16 z^{4}}{25 x^{2}}$$ 10. Sin embargo, las opciones tienen potencias diferentes, por lo que intentamos simplificar la fracción original antes de elevar al cuadrado, pero sin usar exponentes negativos: $$\frac{4x^{2}y^{3}z^{4}}{5x^{3}y^{3}z^{2}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{x^{2}}{x^{3}} \cdot \frac{y^{3}}{y^{3}} \cdot \frac{z^{4}}{z^{2}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{x} \cdot 1 \cdot z^{2} = \frac{4 z^{2}}{5 x}$$ 11. Al elevar al cuadrado: $$\left(\frac{4 z^{2}}{5 x}\right)^{2} = \frac{16 z^{4}}{25 x^{2}}$$ 12. Ninguna opción coincide con esta expresión, por lo que revisamos si la expresión original se puede simplificar de otra forma: 13. Otra forma es elevar todo al cuadrado sin simplificar primero: $$\left(\frac{4x^{2}y^{3}z^{4}}{5x^{3}y^{3}z^{2}}\right)^{2} = \frac{(4x^{2}y^{3}z^{4})^{2}}{(5x^{3}y^{3}z^{2})^{2}} = \frac{4^{2} x^{4} y^{6} z^{8}}{5^{2} x^{6} y^{6} z^{4}} = \frac{16 x^{4} y^{6} z^{8}}{25 x^{6} y^{6} z^{4}}$$ 14. Simplificamos la fracción: $$\frac{16 x^{4} y^{6} z^{8}}{25 x^{6} y^{6} z^{4}} = \frac{16}{25} \cdot \frac{x^{4}}{x^{6}} \cdot \frac{y^{6}}{y^{6}} \cdot \frac{z^{8}}{z^{4}} = \frac{16}{25} \cdot x^{4-6} \cdot 1 \cdot z^{8-4} = \frac{16 x^{-2} z^{4}}{25} = \frac{16 z^{4}}{25 x^{2}}$$ 15. Esto coincide con el resultado anterior. 16. Por lo tanto, la respuesta correcta es: $$\boxed{\frac{16 z^{4}}{25 x^{2}}}$$ 17. Como ninguna opción coincide exactamente, la opción más cercana es la b) $$\frac{16 z^{2}}{125 x^{5} y^{3}}$$ pero no es correcta. 18. Posiblemente hay un error en las opciones o en la interpretación del problema. 19. Sin embargo, siguiendo el procedimiento correcto, la simplificación es $$\frac{16 z^{4}}{25 x^{2}}$$.