1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$\frac{27x^3 - 8}{x^2 - 16} \div \frac{3x^3 - 5x^2 - 12x + 20}{x^2 - 4} - \frac{x - 2}{x + 4}$$. 2. Recordemos que dividir por una fracción es lo mismo que multiplicar por su inversa. Por lo tanto, la expresión se convierte en: $$\frac{27x^3 - 8}{x^2 - 16} \times \frac{x^2 - 4}{3x^3 - 5x^2 - 12x + 20} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 3. Factorizamos cada polinomio: - $27x^3 - 8$ es una diferencia de cubos: $$27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)$$ - $x^2 - 16$ es una diferencia de cuadrados: $$x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)$$ - $x^2 - 4$ es una diferencia de cuadrados: $$x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$$ - Factorizamos $3x^3 - 5x^2 - 12x + 20$ por agrupación: $$3x^3 - 5x^2 - 12x + 20 = (3x^3 - 5x^2) - (12x - 20) = x^2(3x - 5) - 4(3x - 5) = (x^2 - 4)(3x - 5)$$ 4. Sustituimos las factorizaciones en la expresión: $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x^2 - 4)(3x - 5)} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 5. Observamos que $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$, entonces: $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{(x - 2)(x + 2)}{(x - 2)(x + 2)(3x - 5)} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 6. Cancelamos los factores comunes $(x - 2)(x + 2)$ en numerador y denominador: $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{\cancel{(x - 2)(x + 2)}}{\cancel{(x - 2)(x + 2)}(3x - 5)} - \frac{x - 2}{x + 4} = \frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \times \frac{1}{3x - 5} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 7. Multiplicamos las fracciones: $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)} - \frac{x - 2}{x + 4}$$ 8. Para restar, expresamos el segundo término con denominador común: El denominador común es $(x - 4)(x + 4)(3x - 5)$. Multiplicamos numerador y denominador del segundo término por $(x - 4)(3x - 5)$: $$\frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)} - \frac{(x - 2)(x - 4)(3x - 5)}{(x + 4)(x - 4)(3x - 5)} = \frac{(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) - (x - 2)(x - 4)(3x - 5)}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)}$$ 9. Expandimos los numeradores: - Primero: $(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4) = 27x^3 + 18x^2 + 12x - 18x^2 - 12x - 8 = 27x^3 + 0x^2 + 0x - 8 = 27x^3 - 8$ - Segundo: Expandimos $(x - 2)(x - 4) = x^2 - 6x + 8$ Luego multiplicamos por $(3x - 5)$: $$(x^2 - 6x + 8)(3x - 5) = 3x^3 - 5x^2 - 18x^2 + 30x + 24x - 40 = 3x^3 - 23x^2 + 54x - 40$$ 10. Restamos los numeradores: $$27x^3 - 8 - (3x^3 - 23x^2 + 54x - 40) = 27x^3 - 8 - 3x^3 + 23x^2 - 54x + 40 = 24x^3 + 23x^2 - 54x + 32$$ 11. La expresión final es: $$\frac{24x^3 + 23x^2 - 54x + 32}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)}$$ 12. Se puede dejar así o intentar factorizar el numerador, pero no es sencillo. Por lo tanto, la expresión simplificada es: $$\boxed{\frac{24x^3 + 23x^2 - 54x + 32}{(x - 4)(x + 4)(3x - 5)}}$$