1. El problema consiste en simplificar y sumar o restar expresiones con radicales y fracciones. 2. La fórmula principal para sumar o restar radicales es que solo se pueden combinar términos que tengan el mismo radical (igual base y exponente). Para sumar o restar fracciones, se debe encontrar un denominador común. 3. Simplificamos cada expresión paso a paso: **Expresión 1:** $\frac{3}{4} \sqrt{7} - \frac{1}{4} \sqrt{7}$ - Como los radicales son iguales, sumamos las fracciones: $$\left(\frac{3}{4} - \frac{1}{4}\right) \sqrt{7} = \frac{2}{4} \sqrt{7}$$ - Simplificamos la fracción: $$\frac{\cancel{2}}{\cancel{4}} \sqrt{7} = \frac{1}{2} \sqrt{7}$$ **Expresión 2:** $\frac{5}{3} \sqrt{3} + \frac{7}{4} \sqrt{3} + \frac{5}{2} \sqrt{3}$ - Los radicales son iguales, sumamos las fracciones con denominador común 12: $$\frac{5}{3} = \frac{20}{12}, \quad \frac{7}{4} = \frac{21}{12}, \quad \frac{5}{2} = \frac{30}{12}$$ - Sumamos: $$\left(\frac{20}{12} + \frac{21}{12} + \frac{30}{12}\right) \sqrt{3} = \frac{71}{12} \sqrt{3}$$ **Expresión 3:** $- \frac{4}{5} \sqrt{2} + 3 \cdot 5 \sqrt{2} - \frac{1}{2} \cdot 5 \sqrt{2}$ - Simplificamos los coeficientes: $$3 \cdot 5 = 15, \quad \frac{1}{2} \cdot 5 = \frac{5}{2}$$ - Sumamos con denominador común 10: $$- \frac{4}{5} = - \frac{8}{10}, \quad 15 = \frac{150}{10}, \quad - \frac{5}{2} = - \frac{25}{10}$$ - Sumamos: $$\left(-\frac{8}{10} + \frac{150}{10} - \frac{25}{10}\right) \sqrt{2} = \frac{117}{10} \sqrt{2}$$ **Expresión 4:** $4 \sqrt{54} - 5 \sqrt{216} + \frac{1}{3} \sqrt{6}$ - Simplificamos los radicales: $$\sqrt{54} = \sqrt{9 \cdot 6} = 3 \sqrt{6}, \quad \sqrt{216} = \sqrt{36 \cdot 6} = 6 \sqrt{6}$$ - Sustituimos: $$4 \cdot 3 \sqrt{6} - 5 \cdot 6 \sqrt{6} + \frac{1}{3} \sqrt{6} = 12 \sqrt{6} - 30 \sqrt{6} + \frac{1}{3} \sqrt{6}$$ - Sumamos coeficientes con denominador común 3: $$12 = \frac{36}{3}, \quad -30 = -\frac{90}{3}$$ - Sumamos: $$\left(\frac{36}{3} - \frac{90}{3} + \frac{1}{3}\right) \sqrt{6} = -\frac{53}{3} \sqrt{6}$$ **Expresión 5:** $\frac{2}{3} \sqrt{27} - 5 \sqrt{243} - \frac{3}{2} \sqrt{3}$ - Simplificamos radicales: $$\sqrt{27} = \sqrt{9 \cdot 3} = 3 \sqrt{3}, \quad \sqrt{243} = \sqrt{81 \cdot 3} = 9 \sqrt{3}$$ - Sustituimos: $$\frac{2}{3} \cdot 3 \sqrt{3} - 5 \cdot 9 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \sqrt{3} = 2 \sqrt{3} - 45 \sqrt{3} - \frac{3}{2} \sqrt{3}$$ - Sumamos coeficientes con denominador común 2: $$2 = \frac{4}{2}, \quad -45 = -\frac{90}{2}$$ - Sumamos: $$\left(\frac{4}{2} - \frac{90}{2} - \frac{3}{2}\right) \sqrt{3} = -\frac{89}{2} \sqrt{3}$$ **Expresión 6:** $- 3 \sqrt{72} + \frac{1}{2} \sqrt{8} - 5 \sqrt{32}$ - Simplificamos radicales: $$\sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6 \sqrt{2}, \quad \sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = 2 \sqrt{2}, \quad \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4 \sqrt{2}$$ - Sustituimos: $$-3 \cdot 6 \sqrt{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{2} - 5 \cdot 4 \sqrt{2} = -18 \sqrt{2} + 1 \sqrt{2} - 20 \sqrt{2}$$ - Sumamos coeficientes: $$(-18 + 1 - 20) \sqrt{2} = -37 \sqrt{2}$$ 4. Resumen de resultados: - Expresión 1: $\frac{1}{2} \sqrt{7}$ - Expresión 2: $\frac{71}{12} \sqrt{3}$ - Expresión 3: $\frac{117}{10} \sqrt{2}$ - Expresión 4: $-\frac{53}{3} \sqrt{6}$ - Expresión 5: $-\frac{89}{2} \sqrt{3}$ - Expresión 6: $-37 \sqrt{2}$