1. El problema es simplificar la expresión $$M = \frac{1}{\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}} - \sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}}$$. 2. Para simplificar una fracción con radicales en el denominador, usamos la técnica de racionalizar el denominador multiplicando y dividiendo por el conjugado del denominador. 3. El conjugado del denominador es $$\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}$$. 4. Multiplicamos numerador y denominador por este conjugado: $$M = \frac{1}{\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}} - \sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}} \times \frac{\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}}{\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}}$$ 5. Esto da: $$M = \frac{\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}}{(\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}})^2 - (\sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}})^2}$$ 6. Simplificamos los cuadrados de las raíces: $$= \frac{\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}}{(x+3+2\sqrt{x+2}) - (x+3-2\sqrt{x+2})}$$ 7. Simplificamos el denominador: $$= \frac{\sqrt{x+3+2\sqrt{x+2}} + \sqrt{x+3-2\sqrt{x+2}}}{2\sqrt{x+2}}$$ 8. Observamos que $$x+3+2\sqrt{x+2} = (\sqrt{x+2} + 1)^2$$ y $$x+3-2\sqrt{x+2} = (\sqrt{x+2} - 1)^2$$. 9. Por lo tanto: $$M = \frac{\sqrt{(\sqrt{x+2} + 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x+2} - 1)^2}}{2\sqrt{x+2}} = \frac{\left|\sqrt{x+2} + 1\right| + \left|\sqrt{x+2} - 1\right|}{2\sqrt{x+2}}$$ 10. Como $$\sqrt{x+2} \geq 0$$, entonces $$\left|\sqrt{x+2} + 1\right| = \sqrt{x+2} + 1$$ y $$\left|\sqrt{x+2} - 1\right| = \sqrt{x+2} - 1$$ si $$\sqrt{x+2} \geq 1$$, o $$1 - \sqrt{x+2}$$ si $$\sqrt{x+2} < 1$$. 11. Para simplificar, asumimos $$x+2 \geq 1$$, es decir, $$x \geq -1$$, entonces: $$M = \frac{(\sqrt{x+2} + 1) + (\sqrt{x+2} - 1)}{2\sqrt{x+2}} = \frac{2\sqrt{x+2}}{2\sqrt{x+2}} = 1$$. 12. Por lo tanto, para $$x \geq -1$$, la expresión simplificada es $$M = 1$$.