1. Planteamos el problema: Simplificar las siguientes expresiones con raíces y potencias fraccionarias. 2. Recordemos que para raíces de índice $n$, $\sqrt[n]{a} \times \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{a \times b}$ y $\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\frac{a}{b}}$. 3. a) $\sqrt[3]{4} \times \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{4 \times 10} = \sqrt[3]{40}$. 4. b) $- \sqrt[4]{75} \times \sqrt[4]{50} = - \sqrt[4]{75 \times 50} = - \sqrt[4]{3750}$. 5. Simplificamos $3750 = 2 \times 3 \times 5^3$, pero no hay potencias de 4 completas, así que queda $- \sqrt[4]{3750}$. 6. c) $- \sqrt[5]{45} \times (- \sqrt[5]{81}) = (-1)(-1) \sqrt[5]{45 \times 81} = \sqrt[5]{3645}$. 7. Factorizamos $3645 = 3^6 \times 5$, y $\sqrt[5]{3^6 \times 5} = 3^{\frac{6}{5}} \times 5^{\frac{1}{5}} = 3 \times 3^{\frac{1}{5}} \times 5^{\frac{1}{5}} = 3 \sqrt[5]{15}$. 8. d) $\frac{\sqrt[3]{320}}{\sqrt[3]{10}} = \sqrt[3]{\frac{320}{10}} = \sqrt[3]{32} = 2^5$, y $\sqrt[3]{32} = 2^{\frac{5}{3}} = 2^{1 + \frac{2}{3}} = 2 \times \sqrt[3]{4}$. 9. e) $\frac{\sqrt[3]{486}}{- \sqrt[3]{6}} = - \sqrt[3]{\frac{486}{6}} = - \sqrt[3]{81} = -3 \sqrt[3]{3}$ porque $81 = 3^4$ y $\sqrt[3]{3^4} = 3 \sqrt[3]{3}$. 10. f) $\frac{- \sqrt[4]{192}}{- \sqrt[4]{6}} = \frac{\sqrt[4]{192}}{\sqrt[4]{6}} = \sqrt[4]{\frac{192}{6}} = \sqrt[4]{32} = \sqrt[4]{2^5} = 2 \sqrt[4]{2}$. Respuesta final: a) $\sqrt[3]{40}$ b) $- \sqrt[4]{3750}$ c) $3 \sqrt[5]{15}$ d) $2 \sqrt[3]{4}$ e) $-3 \sqrt[3]{3}$ f) $2 \sqrt[4]{2}$