1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$2 \sqrt[3]{x^{4} y^{5}} \left( \sqrt[3]{8x^{12} y^{4}} + \sqrt[3]{16x y^{9}} \right)$$. 2. Recordemos que la raíz cúbica de un producto es el producto de las raíces cúbicas: $$\sqrt[3]{a b} = \sqrt[3]{a} \cdot \sqrt[3]{b}$$. 3. También, para potencias dentro de raíces: $$\sqrt[3]{x^{m}} = x^{\frac{m}{3}}$$. 4. Primero, simplificamos cada raíz cúbica dentro del paréntesis: - $$\sqrt[3]{8x^{12} y^{4}} = \sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{x^{12}} \cdot \sqrt[3]{y^{4}}$$ - $$\sqrt[3]{8} = 2$$ porque $$2^{3} = 8$$. - $$\sqrt[3]{x^{12}} = x^{\frac{12}{3}} = x^{4}$$. - $$\sqrt[3]{y^{4}} = y^{\frac{4}{3}}$$. Entonces: $$\sqrt[3]{8x^{12} y^{4}} = 2 x^{4} y^{\frac{4}{3}}$$. 5. Ahora simplificamos $$\sqrt[3]{16x y^{9}}$$: - $$16 = 2^{4}$$, pero no es un cubo perfecto, así que lo dejamos como $$\sqrt[3]{16}$$. - $$\sqrt[3]{x} = x^{\frac{1}{3}}$$. - $$\sqrt[3]{y^{9}} = y^{\frac{9}{3}} = y^{3}$$. Entonces: $$\sqrt[3]{16x y^{9}} = \sqrt[3]{16} \cdot x^{\frac{1}{3}} \cdot y^{3}$$. 6. Ahora la expresión dentro del paréntesis es: $$2 x^{4} y^{\frac{4}{3}} + \sqrt[3]{16} x^{\frac{1}{3}} y^{3}$$. 7. Multiplicamos todo por $$2 \sqrt[3]{x^{4} y^{5}}$$: Primero, escribimos $$\sqrt[3]{x^{4} y^{5}} = x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}}$$. Entonces la expresión completa es: $$2 x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}} \left( 2 x^{4} y^{\frac{4}{3}} + \sqrt[3]{16} x^{\frac{1}{3}} y^{3} \right)$$. 8. Distribuimos el $$2 x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}}$$: $$= 2 x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}} \cdot 2 x^{4} y^{\frac{4}{3}} + 2 x^{\frac{4}{3}} y^{\frac{5}{3}} \cdot \sqrt[3]{16} x^{\frac{1}{3}} y^{3}$$ $$= 4 x^{\frac{4}{3} + 4} y^{\frac{5}{3} + \frac{4}{3}} + 2 \sqrt[3]{16} x^{\frac{4}{3} + \frac{1}{3}} y^{\frac{5}{3} + 3}$$ 9. Sumamos los exponentes: - $$\frac{4}{3} + 4 = \frac{4}{3} + \frac{12}{3} = \frac{16}{3}$$ - $$\frac{5}{3} + \frac{4}{3} = \frac{9}{3} = 3$$ - $$\frac{4}{3} + \frac{1}{3} = \frac{5}{3}$$ - $$\frac{5}{3} + 3 = \frac{5}{3} + \frac{9}{3} = \frac{14}{3}$$ 10. Entonces: $$= 4 x^{\frac{16}{3}} y^{3} + 2 \sqrt[3]{16} x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{14}{3}}$$ 11. Finalmente, dejamos la expresión simplificada: $$\boxed{4 x^{\frac{16}{3}} y^{3} + 2 \sqrt[3]{16} x^{\frac{5}{3}} y^{\frac{14}{3}}}$$ Este es el resultado simplificado paso a paso.