1. Planteamos el problema: Simplificar la expresión $$p = \sqrt[12]{26(3^3 + 1)(3^6 + 1)(3^{12} + 1)} + 1$$. 2. Recordemos que $$\sqrt[12]{x}$$ es la raíz doceava de $$x$$, y que podemos usar propiedades de potencias y raíces para simplificar. 3. Evaluamos las potencias dentro de los paréntesis: - $$3^3 = 27$$ - $$3^6 = (3^3)^2 = 27^2 = 729$$ - $$3^{12} = (3^6)^2 = 729^2 = 531441$$ 4. Sustituimos: $$p = \sqrt[12]{26(27 + 1)(729 + 1)(531441 + 1)} + 1 = \sqrt[12]{26 \times 28 \times 730 \times 531442} + 1$$ 5. Multiplicamos los factores dentro de la raíz: $$26 \times 28 = 728$$ $$728 \times 730 = 531440$$ $$531440 \times 531442$$ es un número muy grande, pero notemos que $$531440 \times 531442 = (531441 - 1)(531441 + 1) = 531441^2 - 1$$ (producto de conjugados). 6. Entonces: $$26 \times 28 \times 730 \times 531442 = 531440 \times 531442 = 531441^2 - 1$$ 7. Por lo tanto: $$p = \sqrt[12]{531441^2 - 1} + 1$$ 8. Recordemos que $$531441 = 3^{12}$$, entonces: $$p = \sqrt[12]{(3^{12})^2 - 1} + 1 = \sqrt[12]{3^{24} - 1} + 1$$ 9. La expresión dentro de la raíz es $$3^{24} - 1$$, que no es un poder perfecto de 12, pero podemos escribir: $$p = \sqrt[12]{3^{24} - 1} + 1$$ 10. Sin embargo, $$3^{24} = (3^{12})^2$$, entonces: $$p = \sqrt[12]{(3^{12})^2 - 1} + 1$$ 11. No podemos simplificar más la raíz doceava de $$3^{24} - 1$$ directamente, pero si consideramos que $$\sqrt[12]{3^{24}} = 3^{24/12} = 3^2 = 9$$, y dado que $$3^{24} - 1$$ es cercano a $$3^{24}$$, la expresión es aproximadamente $$9$$. 12. Por lo tanto, la expresión completa es aproximadamente: $$p \approx 9 + 1 = 10$$. Respuesta final: $$\boxed{10}$$