1. El problema es resolver el sistema de desigualdades: $$\begin{cases} X - 3 > 2 + 5X \\ 2X - 1 < \frac{3 - X}{5 - \frac{1}{3}} \\ 4 - X > 3X - 6 \end{cases}$$ 2. Resolveremos cada desigualdad por separado y luego encontraremos la intersección de las soluciones. 3. Primera desigualdad: $$X - 3 > 2 + 5X$$ Restamos $X$ y $2$ de ambos lados: $$X - 3 - X - 2 > 2 + 5X - X - 2 \Rightarrow -5 > 4X$$ Dividimos entre 4 (positivo, no cambia la desigualdad): $$\frac{-5}{4} > X \Rightarrow X < -\frac{5}{4}$$ 4. Segunda desigualdad: $$2X - 1 < \frac{3 - X}{5 - \frac{1}{3}}$$ Calculamos el denominador: $$5 - \frac{1}{3} = \frac{15}{3} - \frac{1}{3} = \frac{14}{3}$$ Entonces: $$2X - 1 < \frac{3 - X}{\frac{14}{3}} = (3 - X) \cdot \frac{3}{14} = \frac{9 - 3X}{14}$$ Multiplicamos ambos lados por 14 (positivo): $$14(2X - 1) < 9 - 3X$$ $$28X - 14 < 9 - 3X$$ Sumamos $3X$ y $14$ a ambos lados: $$28X + 3X < 9 + 14$$ $$31X < 23$$ Dividimos entre 31 (positivo): $$X < \frac{23}{31}$$ 5. Tercera desigualdad: $$4 - X > 3X - 6$$ Sumamos $X$ y $6$ a ambos lados: $$4 + 6 > 3X + X$$ $$10 > 4X$$ Dividimos entre 4 (positivo): $$\frac{10}{4} > X \Rightarrow X < \frac{5}{2}$$ 6. La solución del sistema es la intersección de las tres soluciones: $$X < -\frac{5}{4}$$ $$X < \frac{23}{31}$$ $$X < \frac{5}{2}$$ La condición más restrictiva es $$X < -\frac{5}{4}$$. Por lo tanto, la solución del sistema es: $$\boxed{X < -\frac{5}{4}}$$