Question: 2 Resuelve estos sistemas de ecuaciones:
a)
{ 2x - y - 1 = 0
x^2 - 7 = y + 2 }
b)
{ 1/x + 1/y = 1 - 1/xy
xy = 6 }
c)
{ x = 2y + 1
\sqrt{x + y} - \sqrt{x - y} = 2 }
d)
{ y^2 - x^2 = 16
\sqrt{5 - 4y} - x = -(x + y) }
3 Resuelve.
a)
{ x^2 + xy + y^2 = 21
x + y = 1 }
b)
{ \log(x^2 + y) - \log(x - 2y) = 1
5^{x+1} = 25^{y+1} }
c)
{ x - y = 27
\log x - 1 = \log y }
d)
{ \log(2x - y^2) = \log(2 - y) + 1
3^x - 1 = 27^y + 3 }
1. **Problema:** Resolver el sistema de ecuaciones:
$$\begin{cases} 2x - y - 1 = 0 \\ x^2 - 7 = y + 2 \end{cases}$$
2. **Fórmulas y reglas:**
- Para resolver sistemas, podemos usar sustitución o igualación.
- Simplificamos y despejamos variables.
3. **Paso 1:** Despejamos $y$ de la primera ecuación:
$$2x - y - 1 = 0 \implies y = 2x - 1$$
4. **Paso 2:** Sustituimos $y$ en la segunda ecuación:
$$x^2 - 7 = (2x - 1) + 2$$
$$x^2 - 7 = 2x + 1$$
5. **Paso 3:** Pasamos todos los términos a un lado:
$$x^2 - 7 - 2x - 1 = 0$$
$$x^2 - 2x - 8 = 0$$
6. **Paso 4:** Factorizamos o usamos fórmula cuadrática:
$$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 32}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2}$$
7. **Paso 5:** Calculamos las raíces:
$$x = \frac{2 \pm 6}{2}$$
- Para $+$: $$x = \frac{8}{2} = 4$$
- Para $-$: $$x = \frac{-4}{2} = -2$$
8. **Paso 6:** Calculamos $y$ para cada $x$:
- Si $x=4$, entonces $y = 2(4) - 1 = 8 - 1 = 7$
- Si $x=-2$, entonces $y = 2(-2) - 1 = -4 - 1 = -5$
9. **Solución final:**
$$\boxed{(4,7) \text{ y } (-2,-5)}$$