1. **Plantear el problema:** Resolver el sistema de ecuaciones por los métodos de sustitución e igualación. Las ecuaciones son: $$\frac{2(x-3)}{5} + \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$$ $$\frac{3(y-2)}{5} + \frac{x}{9} = \frac{1}{3}$$ 2. **Simplificar cada ecuación:** Para la primera ecuación: $$\frac{2(x-3)}{5} + \frac{y}{2} = \frac{1}{2}$$ Multiplicamos todo por 10 (mínimo común múltiplo de 5 y 2) para eliminar denominadores: $$10 \times \left(\frac{2(x-3)}{5} + \frac{y}{2}\right) = 10 \times \frac{1}{2}$$ $$2 \times 2(x-3) + 5y = 5$$ $$4(x-3) + 5y = 5$$ Expandimos: $$4x - 12 + 5y = 5$$ Sumamos 12 a ambos lados: $$4x + 5y = 17$$ Para la segunda ecuación: $$\frac{3(y-2)}{5} + \frac{x}{9} = \frac{1}{3}$$ Multiplicamos todo por 45 (mínimo común múltiplo de 5, 9 y 3): $$45 \times \left(\frac{3(y-2)}{5} + \frac{x}{9}\right) = 45 \times \frac{1}{3}$$ $$9 \times 3(y-2) + 5x = 15$$ $$27(y-2) + 5x = 15$$ Expandimos: $$27y - 54 + 5x = 15$$ Sumamos 54 a ambos lados: $$27y + 5x = 69$$ 3. **Reordenar para igualación:** Primera ecuación: $$4x + 5y = 17$$ Segunda ecuación: $$5x + 27y = 69$$ 4. **Método de sustitución:** Despejamos $x$ de la primera ecuación: $$4x = 17 - 5y$$ $$x = \frac{17 - 5y}{4}$$ Sustituimos en la segunda ecuación: $$5 \left(\frac{17 - 5y}{4}\right) + 27y = 69$$ Multiplicamos para eliminar denominador: $$\frac{5(17 - 5y)}{4} + 27y = 69$$ Multiplicamos todo por 4: $$5(17 - 5y) + 108y = 276$$ $$85 - 25y + 108y = 276$$ $$83y + 85 = 276$$ Restamos 85: $$83y = 191$$ Despejamos $y$: $$y = \frac{191}{83}$$ Sustituimos $y$ en $x = \frac{17 - 5y}{4}$: $$x = \frac{17 - 5 \times \frac{191}{83}}{4} = \frac{17 - \frac{955}{83}}{4} = \frac{\frac{1411}{83} - \frac{955}{83}}{4} = \frac{\frac{456}{83}}{4} = \frac{456}{83} \times \frac{1}{4} = \frac{456}{332} = \frac{114}{83}$$ 5. **Método de igualación:** Despejamos $x$ en la primera ecuación: $$4x = 17 - 5y$$ $$x = \frac{17 - 5y}{4}$$ Despejamos $x$ en la segunda ecuación: $$5x = 69 - 27y$$ $$x = \frac{69 - 27y}{5}$$ Igualamos ambas expresiones de $x$: $$\frac{17 - 5y}{4} = \frac{69 - 27y}{5}$$ Multiplicamos cruzado: $$5(17 - 5y) = 4(69 - 27y)$$ $$85 - 25y = 276 - 108y$$ Sumamos $108y$ y restamos $85$: $$83y = 191$$ $$y = \frac{191}{83}$$ Sustituimos en $x = \frac{17 - 5y}{4}$: $$x = \frac{17 - 5 \times \frac{191}{83}}{4} = \frac{114}{83}$$ **Respuesta final:** $$x = \frac{114}{83}, \quad y = \frac{191}{83}$$