1. Planteamos el sistema de ecuaciones dado: $$\begin{cases} 3n - 4n + 2o = 5 \\ -2m + 5n - 3o = -1 \\ -m + 6n + o = -4 \end{cases}$$ 2. Simplificamos la primera ecuación: $$3n - 4n + 2o = -n + 2o = 5$$ 3. Reescribimos el sistema: $$\begin{cases} -n + 2o = 5 \\ -2m + 5n - 3o = -1 \\ -m + 6n + o = -4 \end{cases}$$ ### Método de Gauss-Jordan: 4. Expresamos el sistema en matriz aumentada: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 0 & -1 & 2 & 5 \\ -2 & 5 & -3 & -1 \\ -1 & 6 & 1 & -4 \end{array} \right]$$ 5. Intercambiamos filas para tener pivote en la primera fila y columna: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} -2 & 5 & -3 & -1 \\ 0 & -1 & 2 & 5 \\ -1 & 6 & 1 & -4 \end{array} \right]$$ 6. Dividimos la primera fila por -2 para hacer pivote 1: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 2 & 5 \\ -1 & 6 & 1 & -4 \end{array} \right]$$ 7. Eliminamos el elemento en la tercera fila, primera columna sumando fila 1 a fila 3: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & -1 & 2 & 5 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{7}{2} \end{array} \right]$$ 8. Multiplicamos fila 2 por -1 para pivote 1: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & \frac{7}{2} & \frac{5}{2} & -\frac{7}{2} \end{array} \right]$$ 9. Eliminamos el elemento en fila 3, columna 2 restando $\frac{7}{2}$ veces fila 2 a fila 3: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 0 & 12 & 18 \end{array} \right]$$ 10. Dividimos fila 3 entre 12 para pivote 1: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{5}{2} & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \\ 0 & 1 & -2 & -5 \\ 0 & 0 & 1 & \frac{3}{2} \end{array} \right]$$ 11. Eliminamos el elemento en fila 1, columna 3 restando $\frac{3}{2}$ veces fila 3 a fila 1: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & -\frac{5}{2} & 0 & -2 \end{array} \right]$$ 12. Eliminamos el elemento en fila 2, columna 3 sumando 2 veces fila 3 a fila 2: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 0 & 1 & 0 & -2 \end{array} \right]$$ 13. Finalmente, eliminamos el elemento en fila 1, columna 2 sumando $\frac{5}{2}$ veces fila 2 a fila 1: $$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 0 & 3 \end{array} \right]$$ 14. Soluciones: $$m = 3, \quad n = -2, \quad o = \frac{3}{2}$$ ### Método de sustitución: 15. De la primera ecuación simplificada: $$-n + 2o = 5 \Rightarrow n = 2o - 5$$ 16. Sustituimos $n$ en la segunda y tercera ecuación: $$-2m + 5(2o - 5) - 3o = -1$$ $$-m + 6(2o - 5) + o = -4$$ 17. Simplificamos: $$-2m + 10o - 25 - 3o = -1 \Rightarrow -2m + 7o = 24$$ $$-m + 12o - 30 + o = -4 \Rightarrow -m + 13o = 26$$ 18. De la segunda ecuación despejamos $m$: $$-m + 13o = 26 \Rightarrow m = 13o - 26$$ 19. Sustituimos $m$ en la primera: $$-2(13o - 26) + 7o = 24 \Rightarrow -26o + 52 + 7o = 24 \Rightarrow -19o = -28 \Rightarrow o = \frac{28}{19}$$ 20. Calculamos $m$ y $n$: $$m = 13 \times \frac{28}{19} - 26 = \frac{364}{19} - \frac{494}{19} = -\frac{130}{19}$$ $$n = 2 \times \frac{28}{19} - 5 = \frac{56}{19} - \frac{95}{19} = -\frac{39}{19}$$ 21. Resultado final: $$m = -\frac{130}{19}, \quad n = -\frac{39}{19}, \quad o = \frac{28}{19}$$