1. Planteamos el sistema de ecuaciones dado: $$r = 2 - x^2 - y^2$$ $$x, y = 4x - 6y - r$$ $$\varepsilon = 4x - 6y - r$$ Sin embargo, para resolver por el método de igualación, necesitamos un sistema lineal en $x$ y $y$. Observamos que la segunda ecuación está mal escrita o confusa, y la tercera es igual a la segunda. Asumiremos que el sistema lineal a resolver es: $$\begin{cases} 4x - 6y - r = 0 \\ \varepsilon = 4x - 6y - r \end{cases}$$ Pero para resolver por igualación, tomaremos dos ecuaciones lineales en $x$ y $y$. Supongamos que el sistema correcto es: $$\begin{cases} 4x - 6y = r \\ \varepsilon = 4x - 6y - r \end{cases}$$ 2. Método de igualación consiste en despejar la misma variable en ambas ecuaciones y luego igualar esas expresiones. 3. Despejamos $4x$ en la primera ecuación: $$4x = 6y + r$$ 4. En la segunda ecuación, despejamos $4x$ también: $$4x = \varepsilon + r + 6y$$ 5. Igualamos las dos expresiones de $4x$: $$6y + r = \varepsilon + r + 6y$$ 6. Simplificamos cancelando $r$ y $6y$ de ambos lados: $$\cancel{6y} + \cancel{r} = \varepsilon + \cancel{r} + \cancel{6y}$$ Queda: $$0 = \varepsilon$$ 7. Esto implica que $\varepsilon = 0$ para que el sistema tenga solución. 8. Si $\varepsilon = 0$, entonces las dos ecuaciones son equivalentes y el sistema tiene infinitas soluciones en función de $y$ y $r$. 9. Por lo tanto, el sistema es compatible indeterminado si $\varepsilon = 0$. 10. Si $\varepsilon \neq 0$, el sistema es incompatible y no tiene solución. Respuesta final: El sistema tiene solución si y solo si $\varepsilon = 0$, en cuyo caso las soluciones son infinitas y dependen de $y$ y $r$.