1. Vamos determinar as soluções do sistema linear: $$\begin{cases} 5x + 4y + 7z - 10t = -1 \\ 2x - 5y - 3z + 12t = 7 \\ 7x + y + 8z + 5t = 6 \end{cases}$$ 2. Como temos 3 equações e 4 incógnitas ($x, y, z, t$), o sistema pode ter infinitas soluções ou nenhuma, dependendo da consistência. 3. Usaremos o método da matriz aumentada para resolver: $$\left[ \begin{array}{cccc|c} 5 & 4 & 7 & -10 & -1 \\ 2 & -5 & -3 & 12 & 7 \\ 7 & 1 & 8 & 5 & 6 \end{array} \right]$$ 4. Aplicamos operações para triangular a matriz: - Multiplicamos a linha 1 por $\frac{2}{5}$ e subtraímos da linha 2: $$L_2 \to L_2 - \frac{2}{5}L_1: \quad \left[ 2 - \cancel{2}, -5 - \frac{8}{5}, -3 - \frac{14}{5}, 12 - (-4), 7 - (-\frac{2}{5}) \right] = \left[0, -\frac{33}{5}, -\frac{29}{5}, 16, \frac{37}{5} \right]$$ - Multiplicamos a linha 1 por $\frac{7}{5}$ e subtraímos da linha 3: $$L_3 \to L_3 - \frac{7}{5}L_1: \quad \left[7 - \cancel{7}, 1 - \frac{28}{5}, 8 - \frac{49}{5}, 5 - (-14), 6 - (-\frac{7}{5}) \right] = \left[0, -\frac{23}{5}, -\frac{9}{5}, 19, \frac{37}{5} \right]$$ 5. Agora temos: $$\left[ \begin{array}{cccc|c} 5 & 4 & 7 & -10 & -1 \\ 0 & -\frac{33}{5} & -\frac{29}{5} & 16 & \frac{37}{5} \\ 0 & -\frac{23}{5} & -\frac{9}{5} & 19 & \frac{37}{5} \end{array} \right]$$ 6. Multiplicamos a linha 2 por $-\frac{5}{33}$ para simplificar: $$L_2 \to -\frac{5}{33}L_2: \quad \left[0, 1, \frac{29}{33}, -\frac{80}{33}, -\frac{37}{33} \right]$$ 7. Subtraímos $-\frac{23}{5}$ vezes a linha 2 da linha 3: $$L_3 \to L_3 - \left(-\frac{23}{5}\right)L_2:$$ $$\left[0, 0, -\frac{9}{5} - \left(-\frac{23}{5} \times \frac{29}{33}\right), 19 - \left(-\frac{23}{5} \times -\frac{80}{33}\right), \frac{37}{5} - \left(-\frac{23}{5} \times -\frac{37}{33}\right) \right]$$ Calculando cada termo: $$-\frac{9}{5} + \frac{23 \times 29}{5 \times 33} = -\frac{9}{5} + \frac{667}{165} = -\frac{297}{165} + \frac{667}{165} = \frac{370}{165} = \frac{74}{33}$$ $$19 - \frac{23 \times 80}{5 \times 33} = 19 - \frac{1840}{165} = \frac{3135}{165} - \frac{1840}{165} = \frac{1295}{165} = \frac{259}{33}$$ $$\frac{37}{5} - \frac{23 \times 37}{5 \times 33} = \frac{37}{5} - \frac{851}{165} = \frac{1221}{165} - \frac{851}{165} = \frac{370}{165} = \frac{74}{33}$$ 8. A linha 3 fica: $$\left[0, 0, \frac{74}{33}, \frac{259}{33}, \frac{74}{33} \right]$$ 9. Multiplicamos a linha 3 por $\frac{33}{74}$ para simplificar: $$L_3 \to \frac{33}{74}L_3: \quad \left[0, 0, 1, \frac{259}{74}, 1 \right]$$ 10. Agora temos o sistema triangular: $$\begin{cases} 5x + 4y + 7z - 10t = -1 \\ y + \frac{29}{33}z - \frac{80}{33}t = -\frac{37}{33} \\ z + \frac{259}{74}t = 1 \end{cases}$$ 11. Da terceira equação: $$z = 1 - \frac{259}{74}t$$ 12. Substituímos $z$ na segunda equação: $$y + \frac{29}{33}\left(1 - \frac{259}{74}t\right) - \frac{80}{33}t = -\frac{37}{33}$$ $$y + \frac{29}{33} - \frac{29 \times 259}{33 \times 74}t - \frac{80}{33}t = -\frac{37}{33}$$ Calculando os coeficientes de $t$: $$\frac{29 \times 259}{33 \times 74} = \frac{7511}{2442}$$ Somando os termos de $t$: $$-\frac{7511}{2442}t - \frac{80}{33}t = -\frac{7511}{2442}t - \frac{5920}{2442}t = -\frac{13431}{2442}t$$ Assim: $$y + \frac{29}{33} - \frac{13431}{2442}t = -\frac{37}{33}$$ Isolando $y$: $$y = -\frac{37}{33} - \frac{29}{33} + \frac{13431}{2442}t = -2 + \frac{13431}{2442}t$$ 13. Substituímos $y$ e $z$ na primeira equação: $$5x + 4\left(-2 + \frac{13431}{2442}t\right) + 7\left(1 - \frac{259}{74}t\right) - 10t = -1$$ Expandindo: $$5x - 8 + \frac{53724}{2442}t + 7 - \frac{1813}{74}t - 10t = -1$$ Simplificando constantes: $$5x - 1 + \left(\frac{53724}{2442} - \frac{1813}{74} - 10\right)t = -1$$ Calculando os coeficientes de $t$ com denominador comum 2442: $$\frac{53724}{2442} - \frac{1813 \times 33}{2442} - \frac{10 \times 2442}{2442} = \frac{53724 - 59829 - 24420}{2442} = \frac{-30525}{2442} = -\frac{10175}{814}$$ Assim: $$5x - 1 - \frac{10175}{814}t = -1$$ Isolando $x$: $$5x = -1 + 1 + \frac{10175}{814}t = \frac{10175}{814}t$$ Dividindo por 5: $$x = \frac{10175}{814 \times 5}t = \frac{10175}{4070}t = \frac{2035}{814}t$$ 14. Portanto, as soluções do sistema são: $$\boxed{\begin{cases} x = \frac{2035}{814}t \\ y = -2 + \frac{13431}{2442}t \\ z = 1 - \frac{259}{74}t \\ t = t \text{ (parâmetro livre)} \end{cases}}$$ 15. Isso significa que o sistema tem infinitas soluções parametrizadas por $t \in \mathbb{R}$.