1. **Planteamiento del problema:** Se tienen cuatro residencias con habitaciones individuales ($x$), dobles ($y$) y cuádruples ($z$). Se conoce el número total de habitaciones, plazas y empleados para cada residencia. 2. **Variables:** Sea $x_i$, $y_i$, $z_i$ el número de habitaciones individuales, dobles y cuádruples en la residencia $i$ (con $i=1,2,3,4$). 3. **Ecuaciones para cada residencia:** - Total de habitaciones: $$x_i + y_i + z_i = \text{habitaciones totales}$$ - Total de plazas: $$x_i + 2y_i + 4z_i = \text{plazas totales}$$ - Empleados: $$\frac{x_i}{9} + \frac{y_i}{6} + \frac{z_i}{3} = \text{empleados}$$ 4. **Datos:** Residencia 1: 65 habitaciones, 110 plazas, 10 empleados Residencia 2: 50 habitaciones, 90 plazas, 8 empleados Residencia 3: 75 habitaciones, 130 plazas, 12 empleados Residencia 4: 90 habitaciones, 170 plazas, 15 empleados 5. **Sistema de ecuaciones:** Para cada residencia $i$: $$\begin{cases} x_i + y_i + z_i = H_i \\ x_i + 2y_i + 4z_i = P_i \\\frac{x_i}{9} + \frac{y_i}{6} + \frac{z_i}{3} = E_i \end{cases}$$ 6. **Multiplicamos la tercera ecuación por 18 para eliminar denominadores:** $$2x_i + 3y_i + 6z_i = 18E_i$$ 7. **Formamos la matriz de coeficientes $A$ (12x12), vector de incógnitas $X$ (12x1) y vector de términos independientes $B$ (12x1):** $$A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 6 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 6 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 3 & 6 \end{bmatrix}$$ $$X = \begin{bmatrix}x_1 \\ y_1 \\ z_1 \\ x_2 \\ y_2 \\ z_2 \\ x_3 \\ y_3 \\ z_3 \\ x_4 \\ y_4 \\ z_4 \end{bmatrix}$$ $$B = \begin{bmatrix}65 \\ 110 \\ 180 \\ 50 \\ 90 \\ 144 \\ 75 \\ 130 \\ 216 \\ 90 \\ 170 \\ 270 \end{bmatrix}$$ Donde $180 = 18 \times 10$, $144 = 18 \times 8$, $216 = 18 \times 12$, $270 = 18 \times 15$. Este es el sistema matricial $AX = B$ solicitado.