1. **Planteamiento del problema:** Se tiene el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$: $$\begin{cases} x - ay - z = -a \\ ax - y + z = a \\ ax + y = a \end{cases}$$ Se pide: - 2.2.1 Discutir el sistema según los valores de $a$. - 2.2.2 Calcular el conjunto de soluciones cuando el sistema es compatible determinado. 2. **Formulación matricial:** El sistema se puede escribir como $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ con $$A = \begin{pmatrix} 1 & -a & -1 \\ a & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -a \\ a \\ a \end{pmatrix}$$ 3. **Determinante para discutir el sistema:** El sistema es compatible determinado si $\det(A) \neq 0$. Calculamos: $$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - (-a) \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos cada menor: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1)(0) - (1)(1) = -1$$ $$\begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} = a \cdot 0 - a \cdot 1 = -a$$ $$\begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix} = a \cdot 1 - a \cdot (-1) = a + a = 2a$$ Sustituyendo: $$\det(A) = 1 \cdot (-1) - (-a)(-a) - 1 \cdot 2a = -1 - a^2 - 2a$$ 4. **Simplificación del determinante:** $$\det(A) = -1 - a^2 - 2a = -(a^2 + 2a + 1) = -(a+1)^2$$ 5. **Discusión del sistema:** - Si $\det(A) \neq 0 \Rightarrow -(a+1)^2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1$, el sistema es compatible determinado (única solución). - Si $a = -1$, entonces $\det(A) = 0$ y el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible. 6. **Caso $a = -1$:** Sustituimos en el sistema: $$\begin{cases} x - (-1)y - z = -(-1) \\ (-1)x - y + z = -1 \\ (-1)x + y = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y - z = 1 \\ -x - y + z = -1 \\ -x + y = -1 \end{cases}$$ Sumamos la primera y segunda ecuación: $$ (x + y - z) + (-x - y + z) = 1 + (-1) \Rightarrow 0 = 0 $$ Esto indica dependencia entre ecuaciones. De la tercera ecuación: $$ -x + y = -1 \Rightarrow y = x - 1 $$ Sustituimos $y$ en la primera: $$ x + (x - 1) - z = 1 \Rightarrow 2x - 1 - z = 1 \Rightarrow z = 2x - 2 $$ La segunda ecuación es redundante. Por tanto, para $a = -1$ el sistema es compatible indeterminado con soluciones: $$ \{(x,y,z) \mid y = x - 1, z = 2x - 2, x \in \mathbb{R} \} $$ 7. **Solución para $a \neq -1$ (compatible determinado):** Resolvemos el sistema para $a \neq -1$. Sumamos la primera y segunda ecuación: $$ (x - ay - z) + (ax - y + z) = -a + a \Rightarrow (1 + a)x - (a + 1)y = 0 $$ Si $a \neq -1$, podemos dividir: $$ \cancel{(1+a)} x - \cancel{(a+1)} y = 0 \Rightarrow x = y $$ Sustituimos $x = y$ en la tercera ecuación: $$ a x + y = a \Rightarrow a y + y = a \Rightarrow y(a + 1) = a \Rightarrow y = \frac{a}{a+1} $$ Como $x = y$, entonces: $$ x = \frac{a}{a+1} $$ Sustituimos en la primera ecuación para hallar $z$: $$ x - a y - z = -a \Rightarrow \frac{a}{a+1} - a \cdot \frac{a}{a+1} - z = -a $$ Simplificamos: $$ \frac{a}{a+1} - \frac{a^2}{a+1} - z = -a \Rightarrow \frac{a - a^2}{a+1} - z = -a $$ $$ \Rightarrow -z = -a - \frac{a - a^2}{a+1} = -a - \frac{a - a^2}{a+1} $$ Sumamos fracciones: $$ -a = -a \cdot \frac{a+1}{a+1} = \frac{-a(a+1)}{a+1} = \frac{-a^2 - a}{a+1} $$ Entonces: $$ -z = \frac{-a^2 - a}{a+1} - \frac{a - a^2}{a+1} = \frac{-a^2 - a - a + a^2}{a+1} = \frac{-2a}{a+1} $$ Por tanto: $$ z = \frac{2a}{a+1} $$ **Respuesta final:** - Para $a \neq -1$, el sistema tiene solución única: $$ \boxed{\left(x,y,z\right) = \left(\frac{a}{a+1}, \frac{a}{a+1}, \frac{2a}{a+1}\right)} $$ - Para $a = -1$, el sistema es compatible indeterminado con soluciones: $$ \boxed{\left\{(x,y,z) \mid y = x - 1, z = 2x - 2, x \in \mathbb{R} \right\}} $$