1. Planteamos el sistema de ecuaciones: $$\begin{cases} x - ay - z = -a \\ ax - y + z = a \\ ax + y = a \end{cases}$$ 2. Escribimos la matriz de coeficientes y el vector de términos independientes: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -a & -1 \\ a & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} -a \\ a \\ a \end{pmatrix}$$ 3. Calculamos el determinante de $A$ para discutir el sistema según $a$: $$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - (-a) \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix}$$ 4. Calculamos cada menor: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1)(0) - (1)(1) = -1$$ $$\begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} = a \cdot 0 - a \cdot 1 = -a$$ $$\begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix} = a \cdot 1 - a \cdot (-1) = a + a = 2a$$ 5. Sustituimos en el determinante: $$\det(A) = 1 \cdot (-1) - (-a)(-a) - 1 \cdot 2a = -1 - a^2 - 2a$$ 6. Simplificamos: $$\det(A) = -1 - a^2 - 2a = -(a^2 + 2a + 1) = -(a+1)^2$$ 7. Conclusión sobre el sistema: - Si $\det(A) \neq 0$, es decir, si $a \neq -1$, el sistema es compatible determinado (única solución). - Si $a = -1$, el determinante es cero y el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible. 8. Para $a = -1$, sustituimos en el sistema: $$\begin{cases} x - (-1)y - z = -(-1) \\ (-1)x - y + z = -1 \\ (-1)x + y = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y - z = 1 \\ -x - y + z = -1 \\ -x + y = -1 \end{cases}$$ 9. Sumamos la primera y segunda ecuación: $$ (x + y - z) + (-x - y + z) = 1 + (-1) \Rightarrow 0 = 0 $$ 10. La tercera ecuación es: $$ -x + y = -1 \Rightarrow y = x - 1 $$ 11. Sustituimos $y = x - 1$ en la primera ecuación: $$ x + (x - 1) - z = 1 \Rightarrow 2x - 1 - z = 1 \Rightarrow z = 2x - 2 $$ 12. Por lo tanto, para $a = -1$, el sistema es compatible indeterminado con soluciones: $$ \left\{ (x, y, z) \mid y = x - 1, z = 2x - 2, x \in \mathbb{R} \right\} $$ **Respuesta final:** - Para $a \neq -1$, el sistema tiene única solución. - Para $a = -1$, el sistema tiene infinitas soluciones dadas por $y = x - 1$, $z = 2x - 2$ con $x$ libre.