1. **Planteamiento del problema:** Se tiene el sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro real $a$: $$\begin{cases} x - a y - z = -a \\ a x - y + z = a \\ a x + y = a \end{cases}$$ Se pide: - 2.2.1 Discutir el sistema según los valores de $a$. - 2.2.2 Calcular el conjunto de soluciones cuando el sistema es compatible determinado. 2. **Formulación y reglas importantes:** Para discutir un sistema lineal, se analiza el determinante de la matriz de coeficientes: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -a & -1 \\ a & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ Si $\det(A) \neq 0$, el sistema es compatible determinado (única solución). Si $\det(A) = 0$, se debe analizar la compatibilidad (compatible indeterminado o incompatible). 3. **Cálculo del determinante:** $$\det(A) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - (-a) \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix}$$ Calculamos cada menor: $$\begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = (-1)(0) - (1)(1) = -1$$ $$\begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} = a \cdot 0 - a \cdot 1 = -a$$ $$\begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix} = a \cdot 1 - a \cdot (-1) = a + a = 2a$$ Sustituyendo: $$\det(A) = 1 \cdot (-1) - (-a)(-a) - 1 \cdot 2a = -1 - a^2 - 2a$$ 4. **Simplificación del determinante:** $$\det(A) = -1 - a^2 - 2a = -(a^2 + 2a + 1) = -(a+1)^2$$ 5. **Discusión del sistema según $a$:** - Si $\det(A) \neq 0 \Rightarrow -(a+1)^2 \neq 0 \Rightarrow a \neq -1$, el sistema es compatible determinado (única solución). - Si $a = -1$, entonces $\det(A) = 0$, el sistema puede ser compatible indeterminado o incompatible. 6. **Caso $a = -1$:** Sustituimos en el sistema: $$\begin{cases} x - (-1) y - z = -(-1) \\ (-1) x - y + z = -1 \\ (-1) x + y = -1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x + y - z = 1 \\ -x - y + z = -1 \\ -x + y = -1 \end{cases}$$ Sumamos la primera y segunda ecuación: $$ (x + y - z) + (-x - y + z) = 1 + (-1) \Rightarrow 0 = 0 $$ Esto indica dependencia entre ecuaciones. 7. **Resolvemos el sistema reducido para $a = -1$:** De la tercera ecuación: $$ -x + y = -1 \Rightarrow y = x - 1 $$ Sustituimos en la primera: $$ x + (x - 1) - z = 1 \Rightarrow 2x - 1 - z = 1 \Rightarrow 2x - z = 2 \Rightarrow z = 2x - 2 $$ La segunda ecuación es redundante. 8. **Conclusión para $a = -1$:** El sistema es compatible indeterminado con soluciones: $$ \left\{ (x,y,z) \mid y = x - 1, z = 2x - 2, x \in \mathbb{R} \right\} $$ 9. **Cálculo de la solución para $a \neq -1$ (compatible determinado):** Usamos la regla de Cramer para $a \neq -1$. Matriz de términos independientes: $$B = \begin{pmatrix} -a \\ a \\ a \end{pmatrix}$$ Determinantes para variables: $$\det(A_x) = \begin{vmatrix} -a & -a & -1 \\ a & -1 & 1 \\ a & 1 & 0 \end{vmatrix}, \quad \det(A_y) = \begin{vmatrix} 1 & -a & -1 \\ a & a & 1 \\ a & a & 0 \end{vmatrix}, \quad \det(A_z) = \begin{vmatrix} 1 & -a & -a \\ a & -1 & a \\ a & 1 & a \end{vmatrix}$$ Calculamos $\det(A_x)$: $$\det(A_x) = -a \cdot \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} - (-a) \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix}$$ Ya calculados antes, con $-a$ en lugar de 1: $$= -a (-1) - (-a)(-a) - 1 (2a) = a - a^2 - 2a = -a^2 - a$$ Calculamos $\det(A_y)$: $$\det(A_y) = 1 \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} - (-a) \cdot \begin{vmatrix} a & 1 \\ a & 0 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} a & a \\ a & a \end{vmatrix}$$ $$= 1 (a \cdot 0 - a \cdot 1) - (-a)(a \cdot 0 - a \cdot 1) - 1 (a \cdot a - a \cdot a) = -a + a^2 - 0 = a^2 - a$$ Calculamos $\det(A_z)$: $$\det(A_z) = 1 \cdot \begin{vmatrix} -1 & a \\ 1 & a \end{vmatrix} - (-a) \cdot \begin{vmatrix} a & a \\ a & a \end{vmatrix} - a \cdot \begin{vmatrix} a & -1 \\ a & 1 \end{vmatrix}$$ $$= 1((-1)(a) - (1)(a)) - (-a)(a \cdot a - a \cdot a) - a (a \cdot 1 - a \cdot (-1))$$ $$= 1(-a - a) - 0 - a (a + a) = -2a - 2a^2 = -2a^2 - 2a$$ 10. **Soluciones:** $$x = \frac{\det(A_x)}{\det(A)} = \frac{-a^2 - a}{-(a+1)^2} = \frac{a^2 + a}{(a+1)^2}$$ $$y = \frac{\det(A_y)}{\det(A)} = \frac{a^2 - a}{-(a+1)^2} = -\frac{a^2 - a}{(a+1)^2}$$ $$z = \frac{\det(A_z)}{\det(A)} = \frac{-2a^2 - 2a}{-(a+1)^2} = \frac{2a^2 + 2a}{(a+1)^2}$$ 11. **Simplificación final:** Factor común en numeradores: $$x = \frac{a(a+1)}{(a+1)^2} = \frac{a}{a+1}, \quad y = -\frac{a(a-1)}{(a+1)^2}, \quad z = \frac{2a(a+1)}{(a+1)^2} = \frac{2a}{a+1}$$ **Respuesta final:** - Para $a \neq -1$, el sistema tiene solución única: $$\boxed{\left(x,y,z\right) = \left(\frac{a}{a+1}, -\frac{a(a-1)}{(a+1)^2}, \frac{2a}{a+1}\right)}$$ - Para $a = -1$, el sistema es compatible indeterminado con: $$\boxed{\left\{(x,y,z) \mid y = x - 1, z = 2x - 2, x \in \mathbb{R}\right\}}$$